038 2

Zadania dodatkowe

ZADANIE 15

_    . ,    (z> + 5)/r- 3

Dany jest ciąg o ;;-tym wyrazie b_n    - t—-

;; - 2/r

Dla jakich p granicą tego ciągu jest liczba z przedziału [a, />], gdzie z/ jest rozwiązaniem równania 5' - 5^} r = 20. zaś /> jest rozwiązaniem równania

log (.v - 2) - log (4 -x)= 1 - log (13 - .v)

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy granicę ciągu h =

_ (/? + 5);r -3

n - 2/r

P+* ▲

(/? + 5)w² - 3

lim -^L“    ;—=!•

«-»*    // - 2/r

(p + 5j/r 3

i    •%

//-

0

/r

lim

++* n 2/r

P    —~

= lim--

— + . nr /r

1-2

//

⁴-2

-2 2

Zatem

lim />

₌ -Z±l

Teraz rozwiązujemy pierwsze równanie 5^T 5''^r 20, znajdując tym samym a 5* - 5^y* = 20 5* - 5³"* - 20 = 0

5*-^--20 = 0 5^r

korzystamy ze wzoru j* ¹ =

5--|l-20 = 0 1-5'

5 ' • 5* - V • ~ - 5* • 20 = 0

5* - 5³ - 20 • 5*» 0 5^:* - 20 • 5’ - 125 = 0

Podstawiamy pomocniczą niewiadomą 5‘ = /. / > 0

!¹ - 20r - 125 = 0    a-],b = -2,

A = b¹ 4ac = ( 20)- 4 • 1 • (-125) = 400 + 500 = 900 a!a = ^900 = 30

lub

20 + 30

20 - 30

11 ⁼    ^—

= -5

50

2

= 25

Wracamy do podstawienia

	lub	5* = /2
5" = -5	lub	5' = 25
nie ma rozwiązania x e 0	lub	x = 2

75

1

jest jedynym rozwiązaniem równania i jest zarazem a. Czyli a = 2

Teraz rozwiązujemy drugie równanie

log (.v - 2) - log (4 x) =1 log (13 - x) wyznaczając zarazem b.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania:

j •' - ^> 0    wynika to z definicji logarytmu (liczba logaryt-

< 4 — X > 0    mowana musi być dodatnia)

113 - A- > 0

x > 2 -x > -4 ,-*>-13