10 (12)

163

Szeregi Fouriera

(84)	^ j f(x)g{x)dx = X cj, — K
(85)	S

Dowód. Będziemy stosować zapis

(86)    ^|'/_l|l₂ = |^J|/»(x)|²dx}^1/2.

—«

Niech będzie dana liczba e > 0. Ponieważ / e 3t i f(n) = /(— it), więc za pomocą konstrukcji opisanej w zadaniu 12 z rozdziału 6, otrzymujemy ciągłą 27c-okresową funkcję h, dla której

(87)    Uf-h\\₂<e.

Na mocy twierdzenia 8.15 istnieje wielomian trygonometryczny P taki, że |/i(x)—P(x)| < < e dla dowolnego x. Zatem ||h-P||₂ <£• Jeżeli stopień wielomianu P wynosi N₀, to z twierdzenia 8.11 wynika, że

(88)    \\h-s_N(h)\\₂ ś \\h-P\\₂ < e

dla N > No- Podstawiając h—f w miejsce/, na podstawie (72) mamy

(89)    \\s_N(h)-s_N(f)\\₂ = IMfe-/)||₂ < \\h-f\\₂ < e.

Nierówność trójkąta (zadanie 11, rozdział 6) w połączeniu z (87), (88) i (89) pokazuje, że

(90)    ll/-s*(/)||₂ < 3e {N> N₀).

To dowodzi (83). Następnie równość

*    N    *    N

(9D    ^ j\v(/¥<*x=

—k    —AT    — tt    -N

i nierówność Schwarza dają nierówności

(92)    ni S U 1

w których wyraz po prawej stronie dąży do Oprzy N-* <x> na mocy (83). Porównanie (91) i (92) daje (84). Wreszcie (85) otrzymujemy jako specjalny przypadek (84) przy g— f Bardziej ogólna wersja twierdzenia 8.16 występuje w rozdziale 11.

n*