10 (24)

175

Przekształcenia liniowe

c) Dla A e LfR", R^m) zdefiniujmy normę ||-4|| przekształcenia A jako kres górny zbioru liczb (Ax(, gdzie x przebiega wszystkie wektory przestrzeni R" tafcie, źe fx| < 1.

Zauważmy, że nierówność |/4x| < ||-4|| |x| zachodzi dla wszystkich x € R". Oprócz tego, jeśli liczba A jest taka, że |/4x| < A|x| dla wszystkich x 6 R", to \\A\\ < A.

9.7.    TWIERDZENIE, a) Jeżeli A e L(Rⁿ, R^m), to IJA{\ < co i A jest jednostajnie ciągłym odwzorowaniem R" w R^m.

b)    Jeżeli A, Be L{R”, R^m) i c jest liczbą, to

IM+£||SS||/I|| + ||B||, IMII = |c| \\A\\.

Zbiór L(Rⁿ, R^m) jest przestrzenią metryczną, jeśli odległość między A i B zdefiniujemy jako \\A—B\\.

c)    Jeżeli A eUR",R^m) i B e L(R”, R^m), to ||Bi4|| < ||B|| (Ml

Dowód, a) Niech {e„..., e„} będzie bazą standardową w R" i załóżmy, że x =    |x| <

< 1, tak że |cj < 1 dla i = 1,..., n. Wtedy

l-4x| = E<vłe,-| < £|_c,| |4e_f|, sś £|/te,|,

zatem

||/t|| < X \Ae,\ < co,

i — 1

Ponieważ |4x—-4y| < ||/4|| |x—y| dla x, y 6 Rⁿ, widzimy, że A jest jednostajnie ciągłe. Nierówność b) wynika z tego, że

|(/4+B)x| = |4x+Bx| s$ |-4x| + |Bx| < (||/1||+ ||B||) |x|.

Drugą część twierdzeniab) można dowieść tym samym sposobem. Jeśli A, B, Ce L(R", R^m), to zachodzi nierówność trójkąta

IM-CJI = 1104 — B) + (B— C)|| < IM-BII+IIB-CII

i łatwo można sprawdzić, że \\A—B\\ ma pozostałe własności metryki (definicja 2.15).

W końcu c) wynika z nierówności

l(B-4)x| = |B04x)| < ||B|| ||i4x|| ^ ||B|| ||4|| |x|.

Ponieważ mamy teraz w przestrzeniach L(R", R^m) metrykę, więc pojęcia zbioru otwartego, ciągłości itd. dają się przenieść na te przestrzenie. W naszym następnym twierdzeniu są użyte te pojęcia.

9.8.    Twierdzenie. Niech fi będzie zbiorem wszystkich odwracalnych operatorów liniowych na R".

a)    Jeśli A e Q, Be UR^M) i ||B-4||•||y4~^ł|| < U to Be fi.

b)    fi jest otwartym podzbiorem przestrzeni L(B") i odwzorowanie A-*A~^l jest ciągłe na fi. (Odwzorowuje ono wzajemnie jednoznacznie zbiór fi na siebie i jest samo odwracalne.).

Dowód, a) Niech ||>4“ ^ł|| = 1/a, ||B—A\\ = fi Wtedy /? < a. Dla dowolnego x 6 R",

0£|x| = a|-4^-Ii4x| < a||i4^-1||-|4x| = |4x| < |04-B)x| + |Bx| ^ /?|x|+|Bx|,