11(7)

i

i

!V	ćwiartki
	* n nr IV
-H	/ sin
	yff !«0^> 270° 360°

;■)

-H	cos V,
-««)* n	'70° ISO*
-1
	b)
+2	ig
+ 1	...
-<J0» o	•wr ino*

-I

36(1°

i

C)

przeciw

prostokątna

pi zą prostokątna przeciwległa do kata 0

przyptoslokątna przyległa do kąta 0

Rys. 3.13. Tr/y ważne krzywe. których kształt „aJc/.y pamiętać Krzywą pogrubiono w zakresie kipów, w klóryn, s_q zdetimow™ 0 iKHlawnne p rzez kalkulator)    funkcje irygrrooincirycziK

zadania. Rozważmy sposób ohlie/euia kala u przykładzie 1 5 Otrzymaliśmy tam I_S» = 5.0/2.b = 1.5 Wyznaczając prz.y uż.y cm kalkulatora aicig 1.5. <pr/.jniujesz - y(, . ale równanie IU" = 1.5 spełnia również kip »„ = 2.1fi (-|X(I 5ó .. Który z tych kątów iesl właściwym mz.wiąz.micin.' Spojrzenie na rysu-

uek 311. pozwala stwierdzić. zc kip 50 spełnia warunki zadania, a kąt 236 — nie.

Porado 4: Jak mierzyć kt/ry?

Rćiwname (3.5). w którym wysiępują funkcje cosO i sind oraz iowname (3.6), w którym występuje funkcja igf), są słuszne tyłku wtedy gdy kąt ,esi mierzony względem dodatniego kierunku osi a. Jcsl, jest on liczony względem innego kierunku, to może zajść potrzeba zamiany funkcji trygonometrycznych w równaniu (3.5) lub wzięcia odwrotności stosunku w równaniu (3.6). Abv nie po-

pełnić błędu, najlepiej zawsze liczyć kąty względem dodatniego kierunku osi ,v.

r

ztuka rozwiązywania zadań

Porada 1: Miara kqta — sro/mir t radiany Kqiy mierzymy względem dodatniego kierunku osi ,v. przy czym kqt jest dodatni, jeśli liczy .się go w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, a ujemny, jeśli liczy się go w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na przykład wartości 210 i -150 oznaczaj;] len sam kąt. "

Jednoslkami kąta są stopnie ora/ radiany (rad), Związek między lymi jednostkami łatwo zapamiętać, wiedząc. zc kąt polny jest równy 360 lub 2tx rad. Jeśli ir/eba zamienić — powied/my — 40¹ na nidnuiy. to wystarczy podstawić:

... -n rad

⁴⁰ M)-'⁰-⁷¹*¹-Porado 2: (■aukcji• trymnunncl) \'ezne

Musisz /nać definicje podstawowych funkcji trygoiHnnetrycznycli - sinusa, cosinu.su i langcnsa — bo są one powszechnie stosowane w nauce i technice. Oelinieje te podano na rysunku 3.12. w postaci niezależnej ihI o/nac/cii wierzchołków trójkąta prostokątnego.

pizyprostokąinn _sin () _ przed\vlcgkuli> kąta 6 przeciw prosn>k;iin.V

pr/.yprostokątna

cos 0 =    ^{1,0 ł}'^:ł^l;i 0

pr/cciwprośń tkalna pr/yprostokąina

_tl, _e= Przeciwległa dojcąta ()

przyprostokąina przyległa do kąta H

Rys. 3.12. Trójkąt prostokątny, służący do zdefiniowania Timkcji trygonometrycznych. Patrz także dodatek E

Powinieneś też znać wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione na rysunku 3.13. aby móc ocenić, czy wynik oti zy many za pomocą kalkulatora odpowiada warunkom zadania. Po-mocna może być w tym choćby znajomość znaków funkcji w poszczególnych ćwiartkach układu.

Porado 3: Odwrotni' funkcji' tryyonontetrycząc Jeśli wyznaczasz za pomocą kalkulatora odwrotne funkcje trygonometryczne — aresrn v. arccos.r i aretg a loznac/.anc na klawiszach kalkulatora np. jako sin '.cos tg ' J_ub otrzymywane przez „a-cismęcic kolejno dwóch klawiszy, np ..mv" i ..sin",. musisz zastanowić się nad tym. czy otrzymana wartość Opowiada warunkom zadania, gdyż może je spełniać wartość, której kalkulator ci nie poda. Zakresy, w których /.definiowane są odwrotne funkcje trygonometryczne. a więc do których należy kat podawany przez kalkulator, zaznaczono na rysunku 3.13. Na przykład. arćsin(J.5 ^ 30 (i taki wynik podaje kalkulator), ale wartość 0.5 ma także sin 150 Aby się o tym przekonać, wystarczy narysować na wykresie z. rysunku 3.l3a prostą poziomą, przecinającą oś y w punkcie y 0.5 » zauważyć, w których punktach przecina ona wykres funkcji sinus.

Jak poznać, która odpowiedź jest właściwa? Trzeba się /a-stanowić, która z. nich odpowiada warunkom rozwiązywanego

44    3. Wektory

Id Wektory jednostkowe

\i*r»

¥_Łt(.rcm jednostkowym „używamy wektor o długości równej 1. skierowany kreślonym kierunku. Nie ma on wymiaru ani jednostki, śluzy jedynie do ^Wr¥wa,.ia czyli wyznaczania kierunku. Wektory jednostkowe dodatnie!, kie-₀ci x v ioznaczamy jako i. j i k. gdzie w miejsce strzałki „ad wektorem • _mv symbolu: " (rys. 3.14). Układ osi przedstawiony na rysunku 4.14 na-llTprawnskrętnyn, układem, współrzędnych Obrót takiego układu przy

22ym nie zmienia się wzajemne ustawienie osi daje układ, który jest H»vmez    ^ ₃ ,_{4 WcKl}„ry jednostkowe i. j i k

(awoskrętny. W tym podręczniku będziemy posługiwać się wy pczm .    wyznaczają kierunki osi prawoskrętncgo

Stadami współrzędnych.    . układu współrzędnych

Wektorów jednostkowych można używać lak/c do zapisu innych wcklorow.

_Na przykład, wektory « , /> z rysunków 3.R i 3.9 można zapisać jako:

ń=«,i + rtvj    O-D    ¹

¹    i, = b_x\ + b,j.

_iak pokazano na rysunku 3.15. Wielkości o,i i «.j «) wektorami, zwanym, wek-„rami składowymi wektora 5. Wielkości i o, st! skalarami. zwanym, składu-_wvmj skalarnymi wektora 5 Huh. jak poprzedni... po prostu jego składowym,)

•/..piszmy przemieszczenie ,1 zespołu grotołazów z przykładu o.3 za pomocą wektorów jednostkowych. Po pierwsze, zastąpmy układ współrzędnych z rysunku 3 i |b układem prawoskrętnym z rysunku 3.14. Wektory ,. j i k będą wtęc sktero-wane odpowiednio na wschód, do góry i na południc Przemieszczenie zespołu od punktu wyjścia do punktu końcowego wyprawy można zatem wygodnie zapisać za pomocą wektorów jednostkowych jako:

cl = -(2.6 km)i + (0.025 km)j H (3.*) km)k.    (3>-»

W tym wzorze -(2,6 km)i jest to wektor składowy wektora <1 wzdłuz osi x, </,t. a -(2.6 km) - składową a wektora <7. </. (i analogicznie dla pozostałych os,).

3.5. Dodawanie wektorów na składowych

Korzystając / rysunku, możemy dodawać wektory geometrycznie. Inną metodą Rys. 3 dodawania wektorów jest dodawanie ich składowych dla każdej osi.

Na początek rozważmy równanie:

r = u + b-

7. którego wynika, że wektor jest taki sam. jak wektor (ji Ś-S). Skoro tak jest. to obydwa te wektory (i^: i (5 + W muszą mieć jednakowe odpowiednie składowe.

^,zn-^:    r. =«.■)-*,.    <^3il)

r_r = «..•(•/>„    <³-¹²>

r.=r,+6.    (3.13)

Innymi słowy, dwa wektory są sobie równe, jeśli są sobie równe ich odpowiednie składowe. Z równań (3.10)—(3.13) wynika, żc aby dodać do siebie dwa wektory

3.5. Dodawanie wektorów na składowych 45

L

U_VJ

O

a)

6,i

— .v

0 O'.

Ki

I

*h)

(3.10)