1230

Równania naprężeniowe Beltramego-Michela.

Wstęp:

Gdy mamy do czynienia z zadanymi obciążeniami na brzegu ciała, warunki wyrazić trzeba w przemieszczeniach. W takim przypadku warunki brzegowe wyrażone są przez liniowe funkcje pochodnych przemieszczeń.

Dlatego też w przypadku zadanych na brzegu obciążeń wygodniej jest stosować, zamiast równań przemieszczeniowych, inny sposób - wyprowadzić taki układ równań różniczkowych, w którym jako nieznane funkcje występują naprężenia. Ponieważ tensor naprężenia określony jest przez sześć składowych, powinniśmy zatem otrzymać układ sześciu równań różniczkowych.

Równania te, zwane równaniami naprężeniowymi, zostały wyprowadzone przez Eugenio Beltami’ego w 1892r. dla przypadku braku sił masowych, a w 1899r. na innej drodze przez John Henry Michell’a przy uwzględnieniu działania sił masowych.

Wyprowadzenie równań:

Rozwiązanie układu równań:

(1)    GjiJ    = 0,

z warunkami brzegowymi:

(2)    Pt = Oji rij,

nie jest jednoznaczne. Ponieważ w układzie trzech równań występuje sześć składowych tensora o_ijt podać można nieskończoną liczbę rozwiązań spełniających równanie (1) z warunkami (2). Należy poszukiwać dalszych równań. Otrzyma się je, jeśli weźmie się pod uwagę fakt, że odkształcenia eij, związane z naprężeniami <r_i;-prawem liniowym Hooke’a, nie mogą być funkcjami dowolnymi, a spełniać powinny dodatkowe warunki - równania nierozdzielności. Równań tych jest sześć, postać wskaźnikowa:

(3)    V €[j + eij — Gik jk €jk,ik. ^— 9, e — £kk‘