176

Rozdział XVIII

CAŁKI FUNKCJI PRZESTĘPNYCH

§ 18.1. CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Zadanie 18.1. Obliczyć całkę /={ sin ax dx (a#0).

Całkę tę sprowadzimy do znanej całki przez podstawienie ax = t, skąd

adx=dt, czyli    dx=—dt.

a

Mamy więc

i r    i    i

i = — sin t dt=--cos t + C=--cos ax + C.

aj    a    a

Zadanie 18.2. Obliczyć całkę

/ = j sin ax cos bx dx (a#0 i b#0).

Funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę (łatwiejszą do scałkowania) na podstawie przekształcenia 2 sin A cos 5=sin (/4 + 2?) + sin (A—B). Podstawiając A = ax, B=bx otrzymujemy

sin ax • cos bx=± (sin ((o + b) x) -ł-sin ((a - b) x)).

Jest więc

I=jj sin ((a + b) x) dx +d J sin ((a-b) x) dx.

Jeżeli a + h = 0 lub a—b = 0, to na podstawie poprzedniego zadania otrzymujemy

1

I=--cos 2ax + C.

4 a

Jeżeli zaś a+b^O i a—bj^O, to na podstawie tegoż zadania otrzymujemy

f sin ax cos bx dx=--cos Ua +b) x)----— cos ((a-b) x) + C-

^J    2 (a + b)    2 (a-b)

Zadanie 18.3. Obliczyć całki

A = Jcos²xdx i    B = J sin² x dx .

Rozwiązanie: Zadanie rozwiążemy trzema sposobami.

Sposób T. Całki te obliczamy łącznie. Zauważmy, że

A+B = $ (cos² ac + sin² x) dx= J dx = x,

A — B=J(cos² ar-sin² x) dx=J cos 2x dx=$ sin 2x.

I równań tych wyznaczamy

A=2_X^1 sin 2x,    B=±x—A sin 2x,

czyli

₍18.1.1)    | cos² x dx=jx+l sin 2nr + C₁ ,

(18.1.2)    J sin² xt/.v=^-2_sin 2x + C₂ .

Sposób II. Całkę A możemy obliczyć również stosując całkowanie przez części; mamy J cos² x dx= J cos x cos x dx.

Podstawiamy cos x = u, cos xdx = dv, skąd —sin x dx = du, sin x=v. Otrzymujemy więc J cos² x dx=cos x sin x + J sin x sin x dx , a następnie zastępujemy sin² x przez 1 — cos² x:

| cos² x c/ar = sin x cos x+x— J cos² .v dx + C.

Przenosząc całkę z prawej strony na lewą i dzieląc przez 2 otrzymujemy ostatecznie j cos² x dx=\ sin x cos x +2-ar + C₁, gdzie Ci=\C-

Analogicznie wyznaczamy całkę B.

Sposób III. Korzystamy ze wzorów

2 cos² x= 1 +cos 2jt,    2 sin² ar=l — cos 2x.

bieląc przez 2 i całkując obie strony otrzymujemy najszybciej wynik.

Udanie 18.4. Obliczyć całkę

/„ = J sin" x dx, gdzie n liczba naturalna.

ozwiązanie. Szukamy wzoru redukcyjnego. W tym celu przedstawiamy całkę * Postaci

/„ = J sin"^-1 ar sin x dx.

^KuJemy przez części przyjmując |(^ .

^Slr* x, dv = sinxdx, skąd du =(n — 1) sin"^-2 x cos x dx, o= J sin x dx= — cos ar.