1 (34)

40

2. Podstawy topologii

WNIOSEK. Każdy przedział (a, by (a < b) jest nieprzeliczalny. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

2.44. Zbiór CANTORA. Przykład zbioru, który skonstruujemy, pokazuje, że w R¹ istnieją zbiory doskonałe nie zawierające żadnego przedziału.

Niech £₀ będzie przedziałem <0,1>. Odrzućmy z niego przedział ($, |) i niech £j będzie sumą przedziałów:

<i 1>.

Odrzucamy środkowe trzecie części tych przedziałów i E₂ niech będzie sumą przedziałów

<o,i>, <U>, <U>, <f,i>.

Postępując tak samo dalej, otrzymamy ciąg zwartych zbiorów E„ takich, że ' a) £, r> E₂ => E₃

b) £„ jest sumą 2" przedziałów, których długość jest równa 3“*.

Zbiór P — H En nazywamy zbiorem Cantora. Oczywiście zbiór P jest zwarty i z twier-

n=|,-

dzenia 2.36 niepusty.

Żaden z przedziałów postaci

BaC ■

^kdSnek

Sacsęd 1A1. T

Powód

■■mżi Imec nonę I Aby wy ■osnir-e od< BkBCT ogoli

Rh 320<y twi kobee tego

gdzie k i m są liczbami naturalnymi, nie ma punktów wspólnych z P. Znaczy to, że P nie zawiera żadnego przedziału, ponieważ każdy przedział (a, fi) zawiera przedział postaci (24), jeśli 3^_?<£(j?-«).

Aby wykazać, że P jest doskonały, wystarczy dowieść, że P nie zawiera punktów izolowanych. Niech x e P i niech S — dowolny przedział zawierający x oraz I„ — odcinek zawierający x. Wybieramy tak duże n, aby I„ c S. Niech x„ będzie tym końcem odcinka dla którego x_n ć x.Z konstrukcji zbioru P wynika, że x„ e P. Stąd x jest punktem skupienia zbioru P i P jest doskonały.

Jedną z najbardziej interesujących własności zbioru Cantora jest, że zbiór ten jest przykładem zbioru nieprzeliczalnego miary zero (pojęcie miary zostanie wprowadzone w rozdziale 11).

Zbiory spójne

2.45.    Definicja. Powiemy, że dwa podzbiory A i B przestrzeni metrycznej X są oddzielone, jeżeli AnB oraz AnB są zbiorami pustymi, tj. żaden punkt zbioru A nie leży w domknięciu zbioru B i żaden punkt zbioru B nie Jeży w domknięciu A.

Zbiór £ c X jest spójny, jeżeli nie jest sumą dwu zbiorów oddzielonych.

2.46.    UWAGA. Zbiory oddzielone są oczywiście rozłączne, lecz zbiory rozłączne nie

I L UdowcK I Z. Liczba z ■fas, że

Obwodnic, że; Wskazówl

I 31 Udowodi \    4 Czy zbroi

I 5. Skonstru I 4 Niech F Si £ posiadają te paaktów skupier W 7. Niech A_u [    a) Niech B,

f    b) Niech B =

Pokazać na f

8.    Czy każdy pytanie dla domk

9.    Niech £°c