272

10.1.1.2. A traktor

Jeżeli wahadło porusza się w ośrodku lepkim albo ulega tarciu, wykres w przestrzeni fazowej będzie obrazował spiralę zmierzającą do punktu: wahadło stopniowo traci energię (maleje zarów no jego pęd. jak i amplituda wychyleń) i w końcu dochodzi do punktu równowagi (zatrzymuje się). Końcowym stanem takiego układu będzie zatem stan spoczynku opisany punktem w przestrzeni fazowej. Mówimy, że atrak-torcm takiego układu jest punkt. Zwróćmy uwagę na fakt. że układ będzie zmierzał do punktu niezależnie od tego. jakie będą początkowe wartości pędu i prędkości. Jeżeli energia wahadła byłaby odpowiednio uzupełniana, układ mógłby na trwale poruszać się ruchem periodycznym - w takiej sytuacji oczywiście atraktor miałby kształt krzywej zamkniętej. Atraktor jest zatem obszarem w przestrzeni fazowej, do którego - niezależnie od warunków* początkowych - zmierza w dłuZszym okresie układ.

10.1.U. Układy stochastyczne

Układ liniowy jest deterministyczny i przewidywalny. Deterministyczny dlatego, że jego zachowanie określone jest przez równania, sygnał wejściowy i wartości początkowe.

Przewidywalność oznacza możliwość dowolnie dokładnego określenia jego zachowania w każdej chwili czasu w przyszłości. Zanim rozwinięto teorię chaosu uznawano w zasadzie, że detcrministyczność układu — nawet nieliniowego i nierozwiązywalnego analitycznie — pociąga za sobą jego przewidywalność: jeśli znamy regułę, co stoi na przeszkodzie, aby jej użyć do wyznaczenia zachowania układu w przyszłości? Mniemanie to wynikało / przyjęcia założenia, że nawet w przypadku układów nieliniowych mała zmiana sygnału wejściowego prowadzi do niewielkiej zmiany zachowania układu.

Jeśli sygnał okazywał się nieprzewidywalny, przyjmowano, że jest generowany przez układ stochastyczny, to znaczy taki. którego zachowaniem rządzi tak wielka liczba zmiennych, źc dokładny pomiar wartości wszystkich tych zmiennych jest niemożliwy, a zatem praktycznie niemożliwe jest opisanie jego zachowania w przyszłości Szczególnie w naukach biologicznych i medycznych bardzo często mamy do czynienia z układami wykazującymi niezwykłą złożoność. Na ogół przyjmowano. źc jest ona wynikiem dwóch czynników: I) dużego skomplikowania układów oraz 2) ich podatności na wpływy wielu niekontrolowalnych zakłóceń. Duża liczba czynników zewnętrznych mogących oddziaływać na dany układ dynamiczny powo-duje, iż sygnał generowany przez układ będzie przypadkowo fluktuowal.

10.1.2. Prosty model rozwoju populacji

Rozważmy prosty model matematyczny rozwoju populacji. Został on zaproponowany przez belgijskiego matematyka Verhulsta w 1845 roku. Model ten określa wielkość populacji jakiegoś gatunku w dowolnej chwili czasu w przyszłości. Załóż-

272