4548

C) Sytuację omawiani w ladoniu przedstawiono na rysunku obok. Początek układu współrzędnych umieszczono w jednym z wierzchołków prostopadłościanu, a osie pokrywają się i jego krawędziami. Wektory 3, 5I & rozpinające ten prostopadłościan mają wtedy postać:

i s (a, 0.0) = (5.0.0);

9 = (0,6,0) = (0,6,0).

«r = (0.0, ć) = (0.0,7).

--------- ------- _r—

Jedenasty tydzień - przykłady stąd |fl| as 3t/3,

• Przykład 11.7

Obliczyć kloezyny wektorowe podanych par wektorów:

a) 3 = (-1.3.2). 5 = (-1.2,-5); b)p = 2j+l. ę = 7-J₊3l

Rozwiązanie

a) Do Obliczenia iloczynu wektorowego wektorów S = (z,_fy,.r,) i l — (_{łj>fł w}_ korzystamy wzór

Przekątne ścian prostopadłościanu wychodzące z początku układu współrzędnych są rę-prezenlowane przez wektory:

^.a+«=(5,fl.O), <J- 9+ a=s(0,6,7), 9= «+&=»($, 0,7).

Miary kątów między tymi przekątnymi wyrażają się wzorami:

a x 6 ==

*z

"f

i

n

w

fc

Z|

*z

Zatem

5x6 = (-1,3,2) x (-1,2,-5)

i (p. 9) = aiCCOS

4 ($, f) = ąrccos

8o?

WW\

(5,6,0) o (0,6.7)

arccozBMB

*^m“fiŚTW⁼*^Ktos

= arccos —» ss 52 6290

36

v/M85

25

V45I4 I 49

« GO®

~ 68*.

?■ 5 fc

-13 2 -1 2 -5

=» 7(3 - (-5) - 2 • 2) - j((-I) - (-5) - (-1) 2) + fcU-1) -2 - (-1) • 3) = —19» — 7y + k m (—19,—7,1).

b) W rozwiązaniu wykorzystamy własności iloczynu wektorowego oraz równości

i t ?■ i ? t ?: i *i t t i - i r . r

ixj»l, jx*«i, kx i - j, ixi = j x j.= k x k - O.

Mamy

(1,1,1) -(2,2.2).

• Przykład 21.6

Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora 3 = (3,4, -1) na prostą tworzącą jednakowe kąty z dodatnimi osiami układu współrzędnych.

Rozmazanie

Zauważmy najpierw, że prosta tworząca jednakowe kąty z osiami układu współrzędnych jest równoległa do wektora 6 = (1,1,1). Rzut prostokątny dowolnego wektora na lę prostą jest loki sam jak rzut tego wektora na wektor o. Rzut prostokątny u wektora 3 na wektor b (rysunek) wyraża się wzorem

i-iii.Ł

l»l*

Wzór len wynika bezpośrednio z definicji iloczynu skalarnego wektorów a i S. Rzut 5 wektora a = (3,4, -1) na wektor 6 = (1,1,1) ma zatem postać

fi, 4,-l)o (2,1,1)

(i/FTFTI⁷)²

^ 9=- (2j+£) x(i-y + 3fc)

= 2(jx •)-2 (jxj)+«(j **) + (* *»)-(** j)+^J(^ixI) a —2 fc - 8+Cl+ J+ 1+ 0= 7I + J-2E.

• Przykład 11.8

Obliczyć poła podanych powierzchni:

a)    trójkąt rozpięty na wektorach 2= (1,-1, !), 5 = (0,3,-2);

b)    równoległobok o trzech kolejnych wierzchołkach w punktach A - (1,0,1), B

(3,-l,5),C = (-1,5,0);

c)    równoleglościan rozpięty na wektorach p, g,

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy określenie ilpczyńu wektorowego, z którego m. in. wynika, że pole S równolegloboku rozpiętego na wektorach a, 6 jeśt równe długości wektora 5x5:

5= [ox 6j.