398 399

398 Programowanie dynamiczne

Jednostkowe koszty zmienne uzupełnienia zapasów wynoszą 2 i są propor-cjonalne do skali zamówienia. Jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 3. Jednocześnie decydent określa pożądany stan magazynu na koniec ostatniego okresu jako 0. Stan magazynu badany jest na końcu każdego okresu.

Należy ustalić taki plan uzupełnienia zapasów, aby przy pełnym zaspokojeniu zapotrzebowania na rozpatrywany produkt, uwzględnieniu możliwości magazynowania oraz doprowadzeniu stanu magazynu na końcu ostatniego etapu do stanu pożądanego przez decydenta zminimalizować koszty zakupu i koszty magazynowania.

9.2.1. Składowe wieloetapowego procesu decyzyjnego

Aby przedstawić zadanie sterowania zapasami jako wieloetapowy proces decyzyjny, określimy kolejno funkcje przejścia, zbiory stanów i decyzji dopuszczalnych oraz określimy funkcje strat etapowych, jakimi są koszty uzupełnienia zapasów i magazynowania.

Stan procesu

Stan procesu na początku etapu i to stan magazynu na początku tego. etapu. Oznaczymy go symbolem y,.

Decyzja

Decyzją na początku etapu t jest wielkość zamówienia, związana z uzupełnieniem zapasów. Oznaczymy ją symbolem x,.

Funkcja przejścia

Dynamikę zmian procesu opisuje funkcja przejścia. Stan magazynu na początku etapu t+ 1 zależy od stanu magazynu na początku etapu t, decyzji na początku etapu t i popytu d, w etapie t:

y,+i=y,+x,-d,.

Zbiory stanów dopuszczalnych

Oznaczamy przez:

Y, — zbiór wszystkich stanów dopuszczalnych procesu dla etapu /, h, — pojemność magazynu w etapie t.

Chcąc wyznaczyć wszystkie stany procesu dla danego etapu, uwzględniamy założenie, że stan magazynu na początku rozpatrywanego etapu nie może przekroczyć maksymalnej pojemności magazynu. Mamy więc:

F,= {y,: 0 sgy,

Decyzje dopuszczalne

Przypuśćmy teraz, żc na początku etapu t mamy stan magazynu opisany wielkością y,. Podejmując na początku tego etapu decyzję x„ musimy uwzględnić następujące warunki:

1.    Zapotrzebowanie ma być zaspokojone. Oznacza to, że wielkość uzupełnienia zapasów w etapie t musi być co najmniej taka, by łącznie z ilością zapasów w magazynie na początku etapu t była nie mniejsza od popytu d„ występującego w tym etapie. Otrzymujemy zależność:

y,+x,^d„

która po przekształceniu przyjmuje postać:

y,+x,-d, > 0.

2.    Zapasy na końcu etapu nie mogą przekraczać pojemności magazynu dla rozpatrywanego etapu. Otrzymujemy związek:

y, + x,-d_l^h,.

3.    Nie mogą zostać przekroczone możliwości uzupełnienia zapasów. Oznaczając przez p, maksymalną wielkość uzupełnienia zapasów dla etapu t, otrzymujemy zależność:

x,<p,.

4.    Wielkość, o którą uzupełniamy zapasy, jest nieujemna, czyli:

x, > 0.

Jeżeli rozpatrywany przez nas proces na początku etapu / znajdzie się w stanie y„ to wykorzystując wyprowadzone powyżej zależności oraz możliwość zapisania łącznie warunków 1 i 2, a także 3 i 4 w postaci nierówności podwójnych, otrzymamy zbiór decyzji dopuszczalnych dla stanu y„ który oznaczymy symbolem X,(y,). Zbiór ten można zapisać następująco:

X,(y,)={x,: C)^y, + x,-d,^:h„ 0^x,^p,).

Funkcje kosztów etapowych

Z kolei wyznaczymy koszty uzupełnienia zapasów i magazynowania. Wykorzystamy następujące oznaczenia:

q,(x,)    — koszty uzupełnienia zapasu w etapie i.

р, (y,₊ i) — koszty magazynowania w etapie t,

f (y„ x,) — koszty uzupełnienia zapasu i magazynowania w etapie t, k,    — koszty stałe uzupełnienia zapasów,

с,    — koszty jednostkowe uzupełnienia zapasów,

m,    — jednostkowe koszty magazynowania.