8 (20)

Rozdział 8

Pewne funkcje specjalne

Szeregi potęgowe

W tym rozdziale zbadamy pewne własności funkcji, które można przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego, tj. funkcji o postaci

(1) . ^ _ ■ /(*)= 2>»*" lub ogólniej    _oo"“°

(2)

■ ■=0

Funkcje takie nazywamy funkcjami analitycznymi.

Ograniczymy się do funkcji zmiennej rzeczywistej. Dlatego zamiast okręgów zbieżności (por. twierdzenie 3.39) będziemy mieć do czynienia z przedziałami zbieżności.

Jeżeli szereg (1) jest zbieżny dla każdego x'z przedziału (— R, R) przy pewnym R > O (R może być także równe + co), to powiemy, że funkcja/pozwala rozwinąć się w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x = 0. Analogicznie, jeżeli szereg (2) jest zbieżny dla x spełniających nierówność |x—a| < R, to powiemy, że funkcja/rozwija się w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x = a. Dla wygody często będziemy przyjmować a — 0, co nie zmniejsza ogólności przeprowadzanych rozważań.

8.1. Twierdzenie. Niech szereg

(3)    £<vc"

«=o

będzie zbieżny przy |xj < R. i niech

(4)    /(*)= f, W (|x| < R).

n * 0

Wtedy szereg (3) jest zbieżny jednostajnie na przedziale (—R+e, R—e) przy dowolnej dodatniej liczbie e < R. Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna na (—R, R) oraz

(5)

(M < R).

/'(*)=

n — 1