algbera2

Kolokwium 23 listopada 2010 godzina 7.30 Zestaw A

Punkt Z2 powstał w wyniku obrotu punktu z\ = 1 + i wokół zq = 3ś o kąt j Oblicz Z2- Wynik podaj w postaci algebraicznej.

Dla liczby zespolonej z niech w := zz? Oblicz w” + wj + — + jeśli Wk są pierwiastkami liczby w.

Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu z⁴ — 4z³ + 8z² — Sz + 4 wraz z krotnościami wiedząc, że zi = 1+i jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Bez wykonywania działania dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu 2~⁵⁰2:¹⁰⁰ — 1 przez trójmian z² — 2z + 2

Wykaż, że jeśli macierze kwadratowe i nieosobliwe A B komutują tzn. {AB = BA) to macierze odwrotne też komutują.

Sprawdź, że A^_1 i B~^l komutują: gdzie

i B = I - A.

4.    • Oblicz wyznacznik nie używając rozwinięcia Laplace’a w macierzy

6 na 6 (po doprowadzeniu macierzy do niższego rzędu już można).

2	0	2	0	2	0
3	0	2	0	0	0
4	0	5	0	1	0
0	2	0	1	0	1
0	1	0	3	0	2
0	4	0	2	0	a

Dla jakiej wartości a wyznacznik jest równy 0. Podaj przynajmniej jedną wartość a.

5. Niech A € BF'^q,B € R^p'^r, C € R^s'^r. Niech

X =

A B 0 C

Wykaż, że rank{A) +rank(C) < rank{X). Co będzie jeśli rank{A) — rank([AB]7

1