algebra1

Kolokwium 23 listopada 2010 godzina 7.30 Zestaw B

1.    • Punk# Z2 powstał w wyniku obrotu punktu z\ — 1 + 2i wokół

zq = —3i o kąt f Oblicz Z2- Wynik podaj w postaci algebraicznej.

•    Dla liczby zespolonej z niech w := (zź)²? Oblicz w™+w%+...+u>JJ

jeśli Wk są pierwiastkami liczby w.    V*

2.    • Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu z^A—4z³ +14z²—20z+25

wraz z krotnościami wiedząc, że z\ = 1 — 2i jest pierwiastkiem tego wielomianu.

•    Bez wykonywania działania dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu z^1Q0 4-1 przez trójmian z² — y/2z + 1

3.    • Wykaż, że jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa oraz B :=

I — A jest nieosobliwa to macierze kwadratowe A~^Y i B~^l komutują tzn. (AB = BA)

•    Sprawdź, że A~^l i (I — A)^-1 komutują dla

4.    • Oblicz wyznacznik nie używając rozwinięcia Laplace’a w macierzy

6 na 6 (po doprowadzeniu macierzy do niższego rzędu już można).

3	0	3	0	3	0
4	0	2	0	0	0
2	0	3	0	1	0
0	2	0	1	0	1
0	1	0	3	0	2
0	4	0	2	0	a

Dla jakiej wartości a wyznacznik jest równy 0.

5. Niech A E R^p'^q,B e R?’^r, C € R^s'^r. Niech

Wykaż, że rank(A) +rank(C) < rank(X). Co będzie jeśli rank(A) = rank([AB]?

2