CCF20090120126

AB (ryc. 47). Mamy teraz dwa trójkąty prostokątne, ADC i BDC. Co o nich wiemy?

Trójkąt BDC: niewiele o nim wiemy. Chcemy znaleźć SC; wydaje się jednak, iż o trójkącie tym wiemy tylko tyle, że jest on prostokątny.

Trójkąt ADC: tu sprawa wygląda zupełnie inaczej. Znamy bok AC = b i kąt CAD — A. W gruncie rzeczy, o tym trójkącie wiemy wszystko: mamy bowiem tutaj te same informacje, które mieliśmy w zadaniu dotyczącym linii kolejowej, gdy znaliśmy kąt nachylenia toru do poziomu (A) i odległość przebytą przez pociąg (b). Wysokość CD wynosi więc b sin A, a wielkość AD wynosi b cos A.

Te nowe informacje są przydatne w trójkącie BDC. Znamy już w nim długość boku CD i potrafimy wyznaczyć DB. Albowiem AB — c, a AD = b cos A. Odcinek DB jest różnicą, jaka zostaje, gdy od AB odejmie się AD. Odcinek DB jest więc równy c—b cos A.

Obecnie wiemy już wystarczająco dużo o trójkącie BDC, aby go całkowicie rozwiązać. Znamy DC i BD, a kąt CDB jest prosty. Bok BC można znaleźć na podstawie twierdzenia Pitagorasa, gdyż BC² — DC² + DB². Podstawiając za DC, BC i DB znalezione długości, otrzymujemy:

a² — i(b sin A)^zJr{c— b cos A)²

Wzór ten można doprowadzić do prostszej postaci. Zanim jednak to zrobimy, przyjrzyjmy się tokowi postępowania, który nas doprowadził do tego punktu. W zagadnieniach matematycznych ruszenie z miejsca jest rzeczą trudną. Przed przeprowadzeniem jakichkolwiek obliczeń należy zawsze obmyślić plan działania. W przeciwnym przypadku będziemy błądzić jak okręt pozbawiony steru. Sporządzając taki plan, należy zapomnieć o wszelkich trudnościach, jakie mogą wystąpić w czasie dokonywania obliczeń. Należy po prostu zbudować pomost łączący to, co znamy, z tym, co chcemy znaleźć, Czasem dobrze jest zrobić ołówkiem rysunek figury i przeciągnąć atramentem odcinki o znanych długościach i kąty o znanych wielkościach. Następnie przeciągamy atramentem odcinki i kąty, które można obliczyć na podstawie wielkości już znanych. W ten sposób kontynuujemy działanie zapamiętując poszczególne kroki.

W przypadku naszego zadania plan ten byłby następujący:

Odcinek AC i kąt DAC są dane (przeciągamy je atramentem).

Odcinki AD i DC można obliczyć (przeciągamy je atramentem).

AB jest dane (rysujemy atramentem linię tuż pod AB_t tak by narysowana już linia AD pozostała widoczna).

Tak więc DB znajdujemy jako AB minus AD.

BC znajdujemy mając DC i DB, na podstawie-twierdzenia Pitagorasa.

Czytelnik nie powinien się martwić, jeżeli zapomniał wzoru AD = b cos A albo dokładnego sformułowania twierdzenia Pitagorasa. Sporządzając ten plan musi on jedynie wiedzieć, że odpowiedni wzór istnieje, że daną wielkość można wyznaczyć. W swojej pracy codziennej (która jest ważniejsza od egzaminów) możemy zawsze nosić ze sobą książkę ze wzorami i zaglądać do niej. Ale żadna książka mde powie, jak zabrać się do zadania: tego każdy musi się nauczyć w praktyce.

Wróćmy teraz do wprowadzanego poprzednio wzoru na a². Stosując proste przekształcenie algebraiczne otrzymujemy:

a² = b²s^:in² A + c² — 2bc cos A 4- b² cos² A.

Występujący tu symbol sin² A jest powszechnie przyjęty na oznaczenie wielkości, którą do tej pory oznaczaliśmy przez (sin A)², a cos² A ozna-

255