IMG31 resize

44

44

.4 »

I*

Zadanie 2.22

Rys. 2.l9a

Kula o promieniu £₀ jest wykonana / dielektryka o przer ulnoici w/ględ-ncj £, *i wypełniona ładunkiem o gęstości

przestrzennej opisanej funkcją p • ar Wyznaczyć rozkład potencjału i natężenia poła elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli Zadanie wykonać stosując prawo Gaussa oraz przy zastosowaniu równania Laplacca i równania Poissona.

Rozwiązanie:

A) Zastosowanie prawa Gaussa:

1) rozpatrujemy obszar wewnątrz kuli r<R<y W obszarze kulistym o promieniu r zawarty jest ładunek    ^r)V T *

M

r 2s 2

<y = UW'- = \\jpr- cos Qdr d<pdO = j j jar¹ cos 0i/0i/ę><// -nor* r    r    o o *

2

Z uwagi na symetrię sferyczną układu mamy, źe

Qb-ds = DAnr~

5

Zatem zgodnie z prawem Gaussa mamy

jjD-dś-q:    DAnr² »rrar^A\ D = —;    £ = —.

i    4    Ac

Obliczamy rozkład potencjału

£ = -grady =-\_r

dV_

dr'

dV ₌ ar_ dr ~ Ac '

Stałą całkowania C, wyznaczamy przyjmując, że jedna z powierzchni ekw,potencjalnych (są współśrodkowymi kulami), ma potencjał równy zeru. Niech powierzchnia kuli r=£₀ ma potencjał ł^/(£_o)=0. Wtedy

{ryg i Itfc* CadUwny m V»t. »•>•*».

«■»«*{

Zatem zgodnie t pi a » en Gama

Ryt 2 i*

D-4rr* «fj^;

Obliczamy rozkład potencjał*

oXq

*

T «

4f *

f*

<?r

2 *

W-

Sutą całkowania Cj wyznaczamy uwzględniając I(^₀)-0 Stąd

.a

4*n

B) Zastosowanie równania Laplacea i równania Pomona W układzie współrzędnych kulistych laplasjan ma postać

*1	' 2 dV'	| 1 d*V	* » *\
dr\	< dr,	1 r^J«>^]eV	r* COS 9	. aej

a operacja gradientu

- ÓV -    1 dv 7 \dv

grady « 1, -— 4    -tt 7”^ł *8 ”*TX

⁶    '<?r 'rcosBdę rćO

Z uwagi na symetrię sferyczną r®l'(r) i E^mE(r), wiem uwzględniamy tylko pierwsze składniki powyższych wyrażeń

1) Rozpatrujemy obszar wewnątrz kuli rSF₀ Obszar ten zawiera ładunek* zatem stosujemy równanie Poissona.