44
44
.4 »
I*
Zadanie 2.22
Rys. 2.l9a
Kula o promieniu £0 jest wykonana / dielektryka o przer ulnoici w/ględ-ncj £, *i wypełniona ładunkiem o gęstości
przestrzennej opisanej funkcją p • ar Wyznaczyć rozkład potencjału i natężenia poła elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli Zadanie wykonać stosując prawo Gaussa oraz przy zastosowaniu równania Laplacca i równania Poissona.
Rozwiązanie:
A) Zastosowanie prawa Gaussa:
1) rozpatrujemy obszar wewnątrz kuli r<R<y W obszarze kulistym o promieniu r zawarty jest ładunek r)V T *
M
r 2s 2
<y = UW'- = \\jpr- cos Qdr d<pdO = j j jar1 cos 0i/0i/ę><// -nor* r r o o *
2
Z uwagi na symetrię sferyczną układu mamy, źe
Qb-ds = DAnr~
5
Zatem zgodnie z prawem Gaussa mamy
jjD-dś-q: DAnr2 »rrarA\ D = —; £ = —.
i 4 Ac
Obliczamy rozkład potencjału
Stałą całkowania C, wyznaczamy przyjmując, że jedna z powierzchni ekw,potencjalnych (są współśrodkowymi kulami), ma potencjał równy zeru. Niech powierzchnia kuli r=£0 ma potencjał ł/(£o)=0. Wtedy
{ryg i Itfc* CadUwny m V»t. »•>•*».
Zatem zgodnie t pi a » en Gama
Ryt 2 i*
D-4rr* «fj^;
Obliczamy rozkład potencjał*
oXq
*
T «
4f *
f*
<?r
2 *
Sutą całkowania Cj wyznaczamy uwzględniając I(^0)-0 Stąd
4*n
B) Zastosowanie równania Laplacea i równania Pomona W układzie współrzędnych kulistych laplasjan ma postać
*1 |
' 2 dV' |
| 1 d*V |
* » *\ | |
dr\ |
< dr, |
1 rJ«>]eV |
r* COS 9 |
. aej |
a operacja gradientu
- ÓV - 1 dv 7 \dv
Z uwagi na symetrię sferyczną r®l'(r) i EmE(r), wiem uwzględniamy tylko pierwsze składniki powyższych wyrażeń
1) Rozpatrujemy obszar wewnątrz kuli rSF0 Obszar ten zawiera ładunek* zatem stosujemy równanie Poissona.