index php

I 1’OlłS'l AWOWI! WI.ASNOŚCI ZHIORÓW

1.21.    Udowodnij, że \JAęA dla rodziny zbiorów A określonej następująco:

(a)    .4 = 0.

(b)    -4 = {0}.

(c)    A {0,(0}}.

(d)    A — {0,{0},{0,{0}}}.

1.22.    Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A następujące warunki są równoważne:

(1)    u AC A.

(2)    Dla dowolnych x, Z, jeśli x € Z i Z € A, to x € A-

(3)    Dla dowolnego Z, jeśli Z e A, to Z C A.

(4)    A ę PM).

/

1.23.    Dla zbiorów a, 6 niech

(*)    ia,6ł={{{a},0},{{6}}}.

Udowodnij, że dla dowolnych a, b, ci d

ta, 6t = tc, d t wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i 6 = d.

Znaczy to, że wzór (*) mógłby posłużyć za definicję pary uporządkowanej zbiorów a, b.

1.24.    Niech |4| oznacza liczbę elementów skończonego zbioru A. Udowodnij, że dla dowolnych skończonych zbiorów A, B

\AxB\ = \A\-\B\.

1.25*. Udowodnij, że nie istnieje żaden zbiór A, dla którego V{A) C A.

1.26*. Przyjmując, że {a,b) = {{a}, {a, 6}}, udowodnij, że dla dowolnych zbiorów niepustych A i B zachodzi równość

ULM x B) = AUjB.

1.27*. Niech |A| oznacza liczbę elementów skończonego zbioru A. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 i dowolnych skończonych zbiorów 4.1,02, • • • > A_n zachodzi równość

|Ai U 02 U ... U A_n\

= 5j'⁴il-El^A‘ⁿ^l⁺ E |A. n Aj n a*|----+ (-i)"⁺¹|Ai n • • • n A_n|.

i    i<j    i<j<k

WYKŁAD 2 FUNKCJE

oo    oo

2.1. Znajdź IJ A_n oraz fj A_n, gdzie ciąg zbiorów (A_n : n 6 N \ {0}) jest okre-

n=l    n=l

ślony następująco:

(a)    A_n = {x € R : x < n}.

(b)    A_n = {z £ R : —n < x < n}.

(c)    A_n = {x 6 R : 0 < x < ^}.

(d)    A_n = {x € R : £ < x < n}.

(e)    >l_n = {a:€R:l — i<x<3-^}.

(f)    A_n = {x€ R: 1 + i <x< 3+ ^}.

(g)    A_n = {x € R : n < x < n² + 1}.

(h)    A_n = {x € R : n² < x < 2n²}.

(i)    A„ = {j:el:n²<i<n+ 100}.

0) A_n = {x € R : 2" < x < ri² + 100}.

2.2. Niech (Ai : i € I) będzie indeksowaną rodziną zbiorów oraz niech I — ,J U K. Udowodnij, że:

iC/    i£J

n^=n^ⁿn^> o ile J # 0 oraz K ^ 0. te/    ieJ    ieK

OO    OO

2.3. Znajdź (J A_n oraz fj A_n, jeśli ciąg zbiorów {A_n : n £ N\{0}) jest określony

n=1    n=l

następująco:

(a) An =

(^—n> n) >    jeśli n > 0 jest liczbą nieparzystą;

(n+T’ⁿ)’    jeśli n > 0 jest liczbą parzystą.

(b) A_n = {x € R : (-l)ⁿ < x < 5 + (-1)"}.

(c) A_n = |x € R : (-l)ⁿ < x < 5 + (~l)ⁿ +    ⁺‘ }■

(d)    A_n = |x € R : 3 + (-1)" + ⁽~¹^⁺¹ < x < 7 + (-1)" + U¹?"'¹'¹ j.

(e)    A„ = {xel:3+ (-1)" + l=£- < x < 7 + (-l)ⁿ + *=££}.

(f)    A_n = |x 6 R : ^    <    x < 3 +    |.