index2 php

6 I PODSTAWOWE WLASNOfU I ZHIORÓW

2.4.    Znajdź (J A, i fj źlj, gdzie indeksowana rodzina zbiorów (At : t 6 IR) jest

(CK    li k

określona następująco:

(a)    A,    {.r <    lk :    |.r    2| < /*

(t.)    A,    {x (:    lk :    |x - 2| > t²}.

(c)    A, {.i^- € lk : \x — 2| < t² -6< + 11}.

(d)    A,    —    {x G    R :    |x — 5| < sint + 2}.

(e)    A_t    =    {a: €    IR :    x² + (2 — t)x — 2t =    0}.

(f)    A_t    =    {a; €    K :    a:² + (2 — t²)x - 21²    — 0}.

(g)    At — {x € R : 4f²x² — 4f²x — 1 = 0}.

(h)    A_t = {x 6 R : — t⁴ — 1 < t²x < t⁴ + 1}.

2.5.    Znajdź (J A_t i U oraz fj A_t i fj A_t, jeśli indeksowana rodzina

teR    t€R\{o>    teR teR\{o}

zbiorów (At : t € R) jest określona następująco:

(a)    A_t = {(x,y) 6 R² : x² + y² < t²}.

(b)    A_t = {(x,y) el²:i² + y² > t²}.

(c)    A_t = {(x,y) e R² : x = t ■ y}.

(d)    A_t = {(x,y) 6 R² : x + t = y}.

(e)    A_t = {(x,y) e R² : xy = <}.

(f)    A_t - {(x,y) € R² : y = tx²}.

2.6.    Definiujemy rodzinę indeksowaną (A_t : 0 < t < 1) wzorem A_t = (|, dla

t € (0,1). Znajdź IJ    A_t oraz fj A_t.

te(0,i)    te(o,i)

oo oo    oo oo

2.7. Znajdź fj 1J A_n:tn oraz U fj ^n,mi jeśli podwójny ciąg zbiorów

n=l m=l    m=ln=l

(A_n,_m : n, m € N \ {0}) jest określony następująco:

(a)    A_ntm = {xSK:n<x< m}.

(b)    A_ntin = {xeR:x<n + m}.

(c)    A_n>jn = {x 6 R : |x — m| < £}.

(d)    A_n,_m = {xEl:m-(l + (—l)ⁿ) < x < m 4- (l 4- (—1)"⁺¹)}.

OC    OO

2.8.    Znajdź fj U &n oraz 1J fj B_n, jeśli ciąg przedziałów otwartych

m=l n>m    m=l    n>m

(B_n : n e N \ {0}} jest określony następująco:

(a)    B_n — (—3 4- (—1)",0).

(b)    B_n = (-3 4- (—l)ⁿ, (—1)”).

(c)    B„=(-3 + (—1)",^).

(d)    B_n = (-3 + (-1)" + ^Lz^^L).

(e)    B_n= [(-1)»,5+(-$)").

2.9.    Niech

A_n = {k £ N : 2 < k < n lub n nie jest dzielnikiem k} dla n € N. Wyznacz zbiór fj A_n.

n> 2

2.10.    Dane są zbiory A_{q r} zdefiniowane w następujący sposób:

A_q,_r = {z € R : |z — ą| < r}, gdzie q € Q i r > 0. Wyznacz zbiory:

(a)    f| U Kr.

q€Qr> 0

(b)    U n k,r.

<jeQr>0

(c)    D U >4,,r.

r>0,€Q

(d)    U D ^,.r.

r>0₉eQ

2.11.    Niech A_x = {y € R : y > sina:} dla x € R. Wyznacz zbiory:

(a)    U fi A_x.

zeRx>z

(b)    fi U A_x.

z€Rx>z

2.12.    Niech

A_k,x = {y € R : |x - y\ < \y - fc|},

gdzie A: S Z, ieR. Wyznacz zbiór fj (J Ak,_x-

keZxeR

2.13.    Dane są rodziny A_m,_n podzbiorów N zdefiniowane w następujący sposób:

A_m,n = {* C N : m + n€ X},

gdzie m, n € N. Opisz, z jakich podzbiorów N składają się następujące rodziny zbiorów:

(a)    fj U 4n.».

mGNneN

(b)    u n A_m,_n.

m£NnGN