lastscan81

Dla renty z roku pierwszego mamy ratę w wysokości 500*0,986. czyli 493 zł. Stopą procentową jest i₁₂ = 3,9285%/12 - 0.3274%. Niezbędne obliczeń dane dla wszystkich trzech lat zawiera tabela 5.2. Saldo rachunl wyniosło więc

Fi(l + r₂) (1 + r₃) + F₂(l + r₃) + F_} = 19980.00 zł.

W wyniku oszczędzania w Kasie Mieszkaniowej pani Kowalska mogła zainwes tować kwotę prawie 50 tys. zł. a dokładnie 49950,00 zł.

Tabela 5.2

1	Rata	Stopa i i,3 (w %)		-T- F,	r, (w %)
1	493,00	0.3274	1231844	6023.69	4.00
2	522.58	0,4313	12,28878	6421.87	5,30
3	542.30	03675	12,24553	6640,75	430

5.4.2. Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny

Przykład 5.12

Kredyt spłacany jest w 10 ratach kwartalnych. Pierwsza rata wynosi 100 zł, a każda następna jest o 20 zł większa od poprzedniej. Obliczymy wartość końcową tej renty dla i = 2%.

Zauważmy, że raty spłaty kredytu tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 100 i różnicy 20. Możemy zdekomponować ten ciąg na 10 rent o stałych ratach (por. rys. 5.5) i wspólnym momencie końcowym. Na pierwszą rentę składa się 10 rat w kwocie 100 zł. We wszystkich pozostałych rentach rata wynosi 20 Liczba rat w kolejnych rentach maleje o jeden. Wartość końcową rozważanej renty obliczymy więc na podstawie wzoru (5.23),

F = I00j_TO2* +20(5*2*+ jy,,_%+ ... +ST12*) = 2044.69 zł.

■

Dla rat, które tworzą ciąg arytmetyczny, oznaczymy przez d różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu, a przez /?, wartość pierwszej raty. Mamy więc

R, = R)-\+d = /?, + (/-IM

dlay = 2Rentę o ratach R, możemy zdekomponować na n rent o stałych ratach i o wspólnym momencie końcowym (por. rys. 5.5) Pierwsza renta składa się z n rat w wysokości /?, i jest rentą płatną z dołu. Druga składa się z n— I rat w wysokości d i jest rentą odroczoną o jeden okres. W każdej następnej rencie liczba rat jest o jeden mniejsza w porównaniu z poprzednią, liczba okresów odroczenia zaś jest o jeden większa. Rata natomiast pozostaje na nie zmienionym poziomie d.

T

+

+

20

+

						20	20	20
						+	+	+
	20	20	20	20	20	20	20	20
	+	+	+	+	+	+	+	+
20	20	20	20	20	20	20	20	20
+	+	+	+	+	+		+	+
100	100	100	100	100	100	100	100	100
i	_L		_L	_L		_ !_	_L	_L

0123456789    10

Rysunek 5.5. Renta o ratach tworzących ciąg arytmetyczny z przykładu 5.12

Wartość końcową takiej renty możemy więc obliczyć na podstawie wzoru (5.23)

n— 1

F_m “    + d £ ^s?\i-

J-I

i ważmy, że na podstawie wzoru (5.7) prawdziwe są następujące równości:

i"f s_ni - f(o+i*y-i)- x o+jy-(n-i) - j o+iy-n

f 7-1    7-1    /-*    7-0

1

/I- I

id otrzymujemy £ s/j, = —(**!#—«). Zależność ta pozwala nam wyrazić wartość 7-«    ¹

;ową renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny za pomocą jednego tylko mika dyskontowania renty j^j.

(5.25)

Wartość początkową zaś otrzymujemy w wyniku zastosowania wzorów (5.3) i (5.25).

(5.26)

P_a = R\az\i+ — (a^—n(\ + /) ⁿ).

171