liczby Z
5

2. Liczby zcsi

• _nv jeszcze jeden sposób wyznaczania

,v _k0,_ej„ym twiertamiu P^^^onej. W twierdzeniu tym **n(.)

“¹—

dla z < 0 _są    liczb rzeczywistymi, to

Twierdzenie 2.4.2. Jeiit n ¹    liczby

_sUpniadntgieg,zhczbyz-o*l

sign (*)

dla x ^ O dla x < O

W

⁼    2^ ^{+ j} Sign (6) ^

(2.33)

Dowód. Wystarczy zauważyć, że istotnie

2

(± ^\/(|z| + a)/2-f jsign (6) v/(l^l “ «)/²))    = a + jb. □

Przykład 34. Korzystając z ostatniego twierdzenia, wyznaczyć pierwiastki stopnia drugiego z liczby z = 3 + 4j.

Ponieważ z = a + jb = 3 + Aj i |z| = 5, więc wobec (2.33) pierwiastkami stopnia drugiego z liczby 3 + 4j są

w

= ±(\/(5l^j72+jsign(4)v^/(5^72) = ±(2 +j).

Umiejętność wyznaczania pierwiastków stopnia drugiego z liczby zespolonej jest ważna przy wyznaczaniu pierwiastków równania stopnia drugiego.

Twierdzenie 2.4.3. Pierwiastkami równania kwadratowego ax² + bx + c = 0. w którym a, b, c € C i a =£ 0, są liczby

_x _-b-6 . -b + 5

^x---- z X ---

(2.34)

gdzie 6 jest jednym z dwóch pierwiastków stopnia drugiego z liczby A = b² -4ac.

Dowód. Jeśli <5 jest pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby A = 6² — 4ac, to mamy 6² - 4ac = S² i

“J+te + c = o(i^J+!z! + })=o((x+i)² + f-^,)

= “((* + K)²-^)=«((*+ife)²-&)

- <•((*+£) + £)((*+£)-£)

Stryi wynika, że liczby x = _S)t pierwiastkami równania ax² + bx -f c = 0. □

Przykład 35. Rozwiązać równanie x² — 2x + 2 = 0.

Ponieważ A = 6² - 4ac = -4 i pierwiastkiem stopnia drugiego z liczby A = -4 i ^ ~ v.ięc wobec (2.34) rozwiązaniem r*Wr»o~:~ -

« — —

rozwiązaniem równania są liczby

jest