0008

9

§ 1. Liczby wymierne

Zastosujemy jeszcze własność III. 5° na dowód tego, że

b-0=0b=0.

Rzeczywiście (II. 3°)

a + 0=a,    (a+Q)-b = a-b + 0- b — a-b,

skąd wynika 0b—0, a także (III. 1°) b-0=0.

Odwrotnie, jeżeli a b=0 i b=£0, to koniecznie a=0. Rzeczywiście, a=0/b, ale równocześnie 0=0/b (ponieważ h0=0), a iloraz jest określony jednoznacznie.

Na koniec wskażemy własność wiążącą relację > z iloczynem:

HI. 6° z a>b i c>0 wynika a c>b c.

Na własności tej polega mnożenie stronami nierówności o wyrazach dodatnich. Otrzymujemy stąd, że dla a>0 i b>0 jest a b>0.

Zauważmy, że (-a)-b=—(a-b); wynika to stąd, że

a-b + ( — a)'b = [a + ( — a)\-b=0-b=0.

Łatwo teraz zauważyć, że jeżeli a<0, ń>0, czyli a= — \a\, b = \b\, to

a-h = (-|a|)-|h|=-(|_fl|-|h|)<0,

i to samo otrzymujemy dla a>0, b< 0. Jeżeli zaś a<0, b< 0, to

a-h=(-|a|)-(-|h|)=-[|a|-(-|ł>|)]=-[-(a-h)] = |a|-|h|>0.

Tak więc, wyprowadziliśmy w pełni znaną regułę znaków przy mnożeniu, która jest logicznym wnioskiem z wyliczonych własności liczb wymiernych. Innymi słowy, reguła znaków jest konieczna, jeżeli chcemy, by wspomniane własności pozostały w mocy. To samo można powiedzieć (jak wyjaśniono powyżej) o regule mnożenia przez 0.

Rozporządzając podanymi własnościami dodawania i mnożenia moglibyśmy teraz udowodnić tę własność gęstości zbioru liczb wymiernych, którą sformułowaliśmy poprzednio jako własność podstawową (I. 3°). A mianowicie można by dowieść np., że z a>b wynika, że a>%{a+b)>b.

5.* Aksjomat Archimedesa. Zakończymy teraz wyliczanie własności liczb wymiernych następującym prostym, ale ważnym stwierdzeniem, które nie wynika z wyliczonych własności:

IV. 1° dla każdej liczby c>0 istnieje liczba naturalna n większa niż c („aksjomat Archimedesa”).

W istocie Archimedes udowodnił twierdzenie geometryczne, znane obecnie pod nazwą aksjomatu Archimedesa•

Jeżeli na prostej dane są dowolne dwa odcinki A i B, to można A odłożyć tak wiele razy, żeby suma była większa niż B:

A+A + ...+A=A-n>B.

n razy