matma0

7.40.    Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem. Jaka powinna być podstawa prostokąta, aby przy obwodzie okna wynoszącym 2 m powierzchnia okna była największa?

7.41.    Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach 30 cm i 50 cm należy wyciąć w rogach kwadraty tak, aby po złożeniu otrzymać otwarte pudełko. Jak dobrać długość boku kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe?

7.42.    Drut długości a cm należy podzielić na dwie części. Z jednej tworzymy kwadrat, z drugiej prostokąt o stosunku boków 2:1. Na jakie części trzeba rozciąć drut, aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

7.43.    Wyznacz znaki parametrów h i c w trójmianie kwadratowym y = x² + bx + c, jeśli trójmian ma dwa miejsca zerowe, przy czym wiadomo że:

a)    x_t > 0 i x₂ >    0,    c)    x_t < 0 i x₂ < 0,

b)    Xi < 0 i x₂ >    0,    d)    x_Ł > 0 i x₂ = 0.

7.44.    Wyróżniki podanych trójmianów są dodatnie. Oblicz sumę i iloczyn miejsc zerowych każdego z trójmianów (bez obliczania miejsc zerowych):

a)    y = x² — 8x+ 12,    c)    y = — 3x² + 5x + 2,

b)    y = 2x² — 3x— 1,    d)    y = \x² — 4x — 3.

7.45.    Wyznacz współczynniki b i c trójmianu y = x² + hx + c, mając

dane:
a) X! = 3	• 1	Xi +x2 = 3,
b) xt = 2	• 1	x,-x2 = -6,
0 = -i	• 1	Xj +x2 = — 1
d) xr = 0,8	• 1	x, -x2 = 4.

46. Ułóż równanie kwadratowe, którego jednym z pierwiastków jest liczba r i którego wszystkie współczynniki należą do podanego obok zbioru liczbowego:

a) r = 2-V3, C\{0};

b) ri-V2-l, N+;

c)    r = 2, R\W;

d) r = i,^{O}.

/ 17. Ułóż równanie kwadratowe o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba r, zaś jeden ze współczynników równania jest zero.

a) r = 5,    b) r = —c) r = 2,5.

/.48. Dane jest równanie 2x²-3x —7 = 0. Nie wyznaczając rozwiązań Xj, x₂ tego równania oblicz wartości wyrażeń:

a)    |x₁|² + |x₂|²,

b)    |x₁|³ + |x₂|³,

c) |xj x₂|,

_d) _J_ .    i

^; (x,)² x₂ x, (x₂)^2,

7.49.    Wiedząc, że x_l5 x₂ są rozwiązaniami równania x² + 5x —3 = 0, nie wyznaczając tych rozwiązań ułóż równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem będą liczby:

a) 2xj i 2x₂,    c) (x_x)² i (x₂)²,

b) x, — 1 i x₂ — 1,    d) — i —.

X₂

7.50.    Znajdź współczynnik b w równaniu x²+bx — 8 = 0 z niewiadomą x wiedząc, że jedno z rozwiązań równania jest kwadratem drugiego rozwiązania.

7.51.    Znajdź związek między współczynnikami a, b, c, równania ax^z + bx + c = 0 (a # 0) wiedząc, że jedno z rozwiązań jest iloczynem drugiego rozwiązania przez liczbę:

a)    2,    c)    e) 0,

b)    3,    d)    — 2,    f) k, gdzie k # 0.

7.52.    Równania    x² + px + q    = 0 i    x² + rx + s = 0 mają    wspólne roz

wiązanie. Wykaż, że:

q-{p-r)²-p(p-r)-(q-s) + {q-s)² = 0.

7.53. W poniższym zadaniu x_t, x₂ oznaczają miejsca zerowe trójmia-nu f(x) = ax² + bx + c. Określ znaki współczynników tego trój-mianu mając dane:

x₂ > 0; x₂ < 0; x_t > 0;

— 2 < x₂ < 0.

a)    /(0) =1, Xj > 0,

b) /(0) = — 2,    x₁<0,

c) /(l)>0,    x_t = x₂,

d)    /( —2) > 0, x, < -3,