Obraz9 2

160

z działania czynników losowych jest równe 2 g. Z hurtowni napływają do przedsiębiorstwa informacje, że średnia waga dostarczanych tabliczek nie jest równa 200 g, zaś odchylenie standardowe jest różne od 2 g. Oznacza to, że waga produkowanych na tym automacie tabliczek czekolady jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu o innej średniej, lecz nie wiadomo jakiej, i innej wariancji, czyli rozkładowi N(m, a), co wskazywać będzie, że automat się rozregulował. Zbudować przedział ufności dla średniej wagi tabliczek czekolady przyjmując współczynnik ufności (1-a) = 0,95. Do szacowania wartości średniej wykorzystamy dane z przykładu 5.1. Aby oszacować średnią wagę produkowanych na tym automacie tabliczek czekolady, pobrano w sposób losowy 10 tabliczek. Każdą tabliczkę zważono i otrzymano następujące dane w gramach^-199, 198, 200, 197, 198, 195, 196, 198, 194, 195.

dy jest równa 197 g. Ponieważ nie jest znane odchylenie stand* H ^CZeko,a' cujemy je, otrzymując:    ndardowe wagi, sza-

Jak już wcześniej obliczono, średnia waga wylosować t kr ,

Następnie dla zadanego współczynnika ufności i 9 stonui ™,„k ^ w tablicach rozkładu /-Studenta wartość /_on, - ? 26? u/ 1    °^b0C^ znajdujemy

informacje, znajdujemy współrzędne końców przedziału    ^P°^Wyższe

które są równe:    Podziału ufności dla średniej,

s    1,84

*d~^x~^ro.o5 i-- =¹⁹⁷“2,262—— ~ 195,6 g,

•yn — 1    3

_    s    184

Vn-1    3

= x + /₀,o5 ~J= =¹⁹⁷ + 2,262—— = 198,4 g.

Przedział ufności dla średniej zapiszmy w postaci <195,6; 198,4). Przedział ten nie obejmuje postulowanej przez przedsiębiorstwo średniej wagi równej 200 g Oznacza to, że z dużym poziomem ufności możemy twierdzić, że automat się

rozregulował.

Przyjmując błąd oszacowania d₀= 1,4 ocenić, czy liczba elementów zawartych w próbie jest wystarczająca do budowy przedziału ufności dla średniej wagi tabliczki czekolady. W tym celu obliczamy wielkość:

Uzyskany wynik wskazuje, że posiadana przez nas próba o liczebności 10 jest wystarczająca do budowy przedziału ufności dla średniej wagi tabliczki czekolady.

Przedział ufności dla wartości średniej dla dużej próby

Przyjmijmy, że istnieją przesłanki tak natury formalnej jak i merytorycznej, że do opisu struktury interesującej nas zbiorowości statystycznej pod względem cechy X można wykorzystać rozkład normalny N(m, ct). Odchylenie standardowe nie jest znane. W wypadku gdy próba jest stosunkowo liczna (w praktyce przyjmuje się n > 30), wówczas do budowy przedziału ufności dla wartości średniej wykorzystujemy zmienną losową standaryzowaną U. W tym wypadku przyjmujemy, że oszacowane na podstawie próby odchylenie standardowe jest równe odchyleniu standardowemu zbiorowości pod względem cechy X (s = a).

Przykład 5.3

Strukturę trzyosobowych gospodarstw domowych w pewnym regionie w Polsce pod względem miesięcznych wydatków na żywność opisuje rozkład normalny N(m, a). Poziom zróżnicowania gospodarstw pod względem interesujących nas wydatków mierzony odchyleniem standardowym nie jest nam znany. Przyjmując współczynnik ufności równy 0,95 zbudować przedział ufności dla średnich wydatków na żywność (oszacować metodą przedziałową średnie wydatki na żywność w tej zbiorowości gospodarstw).

Ze zbiorowości gospodarstw wylosowano próbę o liczności 100. Dla próby obliczono średnią arytmetyczną wydatków i odchylenie standardowe, otrzymując:

624,15 zł, s = 240,26 zł.

Ponieważ uzyskana przez nas próba jest liczna, do budowy przedziału wykorzystamy zmienną losową U. W tym przypadku przyjmujemy, że a = s = 240,26 zł. Wykorzystując odpowiednią wielkość z tablic rozkładu normalnego obliczamy współrzędne końców przedziału ufności, które są odpowiednio równe:

x_d — X Mq,05

^    240,26

-= = 624,15-1,96-— -577,06 zł,

47i io

x_d — X + U _0j05

10