Obraz1 2

164

Wykorzystując wzory (5.51) oraz przyjęty współczynnik ufności 0,95, a także biorąc pod uwagę fakt, że rozważana w tym wypadku zmienna losowa chi-kwadrat związana jest z 9 stopniami swobody, znajdujemy:

P(X²>c_x) = P(X²> 2,70) = 0,975,

P(X²>c₂) = P(X²> 19,0) = 0,025.

Na podstawie próby wylosowanych 10 tabliczek czekolady znajdujemy, że:

10    10

P(x_j-197)^,=34.

1=1    1=1

Mamy zatem już wszystkie wielkości konieczne do ustalenia współrzędnych końców przedziału ufności dla wariancji. Współrzędna punktu początkowego przedziału ufności jest równa:

2

d

£(*,-197 )²

1=1

c₂

34

19,0

1,783,

zaś współrzędna punktu końcowego ma wartość:

£(A-197)^:

34

2,70

12,593,

Otrzymaliśmy więc realizację przedziału ufności dla wariancji wagi tabliczek czekolady pakowanych na naszym automacie o postaci (1,783; 12,593). Jeśli zatem producent tego automatu twierdzi, że nominalne zróżnicowanie w wadze tabliczek czekolady mierzone wariancją jest równe 4, to można przyjąć, że nie ma podstaw do odrzucenia tego stwierdzenia. Zrealizowało się bowiem zdarzenie, któremu przypisaliśmy wysoki poziom ufności, obejmujące wariancję podaną przez producenta równą 4.

Wykorzystując powyższe informacje możemy zbudować przedział ufności dla odchylenia standardowego, który oznaczymy symbolicznie (5* S_K). Ponieważ odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji, więc wykorzystując ten fakt znajdziemy współrzędne końców przedziału ufności.

Współrzędna punktu początkowego przedziału ufności wyraża się wzorem:

I(X,-X)²

(5.29)

i=l_

zaś wzór na współrzędną punktu końcowego przedziału ma postać:

n

(5.30)

Dla przykładu 5.4 współrzędne końców przedziału ufności dla odchylenia standardowego wagi tabliczek czekolady mają następujące wartości

s

d

34

«1,338 g,

s

g

- 3,549 g.

Liczbowy przedział ufności dla odchylenia standardowego jest równy (1,338; 3,549). Przedział ten obejmuje postulowaną przez producenta wartość odchylenia standardowego wagi tabliczek czekolady równą 2 g.

Przedział ufności dla wariancji w wypadku dużej próby (n > 50)

Jeśli próba losowa jest względnie duża, wówczas do budowy przedziału ufności wykorzystać możemy zmienną losową U podlegającą rozkładowi normalnemu N(0, 1), lub inaczej mówiąc, zmienną losową standaryzowaną. Wykazano bowiem, że dla modelu próby losowej prostej rozkład zmiennej losowej definiowanej wzorem:

U=y[2x* -j2n-3,    (5.31)

gdy n dąży do nieskończoności, dąży do rozkładu normalnego standaryzowanego, czyli do rozkładu iV(0, 1). Oznacza to, że w wypadku dostatecznie dużego n błąd estymacji przy budowie przedziału ufności dla wariancji będzie nieznaczny. Można więc w takim przypadku przy budowie przedziału ufności dla wariancji za punkt wyjścia przyjąć relację:

P(-u_a <U <u_a) = 1-a.