47855 str106 (5)

106    1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Biorąc pod uwagę wzory (3), (4), (5), (5'), otrzymujemy

Ostatecznie

(6)

w

/2z — l + i'V3\| \2z—1—i^/3/

Funkcja określona wzorem (6) odwzorowuje obszar zakreskowany (rys. 1.27) na górną półplaszczyznę. Jest to oczywiście tylko jedna z funkcji realizujących to odwzorowanie.

Zadanie 11.11. Znaleźć funkcję, która odwzorowuje konforemnie całą płaszczyznę z wycięciem wzdłuż odcinka łączącego punkt z_l = i z punktem z₂ = 3/ (rys. 1.30) w górną półplaszczyznę.

Rozwiązanie. Zauważmy, że funkcja homograficzna

odwzorowuje punkt z_t = i w ] obszar zakreskowany (rys. 1.3C półprostej wychodzącej z pun Aby znaleźć kierunek tej pc od £ = 0. W tym celu stwierdź wiada przy przekształceniu (1

Wobec tego funkcja (1) odwz z wycięciem wzdłuż ujemnej c cenie:

(2)

(1)

c =

z —i z — 3i

odwzorowuje płaszczyznę (Q z z wycięciem wzdłuż dodatniej wzdłuż dodatniej osi rzeczywi którąkolwiek gałąź przeksztal

(3)

bo kąt 2tc odwzorowuje się Biorąc pod uwagę wzory (1)

(4)

Funkcja określona wzorem ( czyznę. Jest to oczywiście jei w(oo) = i, a więc punkt i ni

Zadanie 11.12. Znaleźć fi czyznę obszar ograniczony o okręgu w punkcie z = i (rys