str008 (5)

8 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Z wyrazów ciągu (1.4) tworzymy nowy ciąg o wyrazach

Si = w_lt s₂ = w_x + w₂ s„ = w₂+w₂+... + w„

Ten nowy ciąg {S,,} nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazach zespolonych i oznaczamy symbolem

(1.5)    f W_k= W₁ + W₂ + ... + W_n+...

k= 1

Definicja 4. Wyrażenie:

(1.6)    S_n = W_l + W₂+... + W_n nazywamy n-tą sumą cząstkową szeregu (1.5).

Definicja 5. Mówimy, że szereg nieskończony (1.5) jest zbieżny do sumy S, co zapisujemy

X =

k= i

jeżeli ciąg sum cząstkowych (1.5) tego szeregu ma granicę S.

00

Definicja 6. Szereg o wyrazach zespolonych X W„ nazywamy bezwzględnie zbieżnym,

n = 1

jeżeli zbieżny jest szereg

X m.

n=l

Dla szeregów o wyrazach zespolonych słuszne są następujące kryteria zbieżności:

oo

1.1. Kryterium porównawcze. Jeżeli szereg X W„ spełnia dwa następujące warunki:

a)    |lk_nKo_n dla n^N,

oo

b)    szereg £ a„ (o wyrazach dodatnich) jest zbieżny,

n — 1

to szereg X W_n jest bezwzględnie zbieżny.

n= 1

— g, to szereg o wyrazach zespolonych

1.2. Kryterium d’Alemberta. Jeżeli lim

X W „Jest bezwzględnie zbieżny, gdy flf<l. Jeżeli zaś g> 1, to szereg jest rozbieżny.

I*=l

1.3. Kryterium Cauchy"ego. Jeżeli limV|W^/„| = g, to szereg o wyrazach zespolonych

⁰⁰    oo

X W„Jest bezwzględnie zbieżny, gdy g<\. Jeżeli zaś g> 1, to szereg jest rozbieżny.

n= i

Następujące twierdzenie pozwala sprowadzić badanie zbieżności szeregów o wyrazach zespolonych do badania zbieżności szeregów o wyrazach rzeczywistych.

O0

Twierdzenie 2. Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności szeregu X

n = 1

oo

o wyrazach W„ = U„+iV„ do sumy S = o + h jest jednoczesna zbieżność szeregów X

oo    n= 1

oraz X V„ odpowiednio do sum a oraz x.