str024 (5)

24 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Stąd po przekształceniach dla a 0 mamy

(7)

Jest to równanie okręgu o środku S( 0,--1 i promieniu r = -— . Dla a = 0 równa-

V 2a/    2|«|

nie (6) przedstawia prostą y = 0.

c) Weźmy pod uwagę równanie

Mnożymy obie strony równania (8) przez |z+/|. Mamy wtedy

(9)

|z-l| = a|z +i|.

Podstawiając we wzorze (9) z = x+iy, mamy

|(x-l) + i>>| =a|x + i(> + l)|,

V(x-1 )² + y² = a V-x² + 0> + l)²,

(1—a²)x²+(l—a²)y²—2x—2a²y + l—a² = 0,

(10)

1 a²

Równanie (10) przedstawia okrąg o środku S

(:

')

a = 1, równanie (8) przedstawia prostą y — —x. Gdy a = 0, równanie (8) przedstawia punkt (1, 0).

Zadanie 3.4. Do zacisków źródła prądu zmiennego o napięciu U dołączony jest przewodami o oporności R odbiornik o zmiennej impedancji z. Impedancja z może przyjmować wartości, dla których Rez>0. Wyznaczyć obszar zmienności natężenia / prądu elektrycznego w odbiorniku.

Rozwiązanie. Przyjmujemy, że napięcie źródła energii elektrycznej spełnia warunek Im U = 0. Impedancja z = r+ix przyjmuje wartości z płaszczyzny zespolonej Rez>0. Prosta r = 0 (Rez = 0) ogranicza płaszczyznę impedancji. Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu / określa następująca funkcja zmiennej zespolonej z:

(1)

1 =

U

R+Z