25940 str022 (5)

22 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Porównując po obu stronach równości (5) części rzeczywiste i urojone, mamy

1+x²—y²    —2 xy

u =

(x²+y²)² + 2 (x² - y²) + l’

v =

(x² + y²f + 2(x²-y²)+l

Zadanie 3.2. Na jaką linię w płaszczyźnie (u, v) przekształca funkcja w = 1/z linię C leżącą w płaszczyźnie (x,y) (z = x+iy, w — u+iv), o równaniu

a) x²+y² = 4, b)y = x.

Rozwiązanie, a) Funkcję w = 1/z przekształcamy w sposób następujący:

(1)

1

w = •

12 *

Z ZZ |Z|

Podstawiając we wzorze (1) w = w+iv oraz z = x+iy, mamy

(2)

skąd

(3)

w =

x—ly

(V x²+y²)²    x²+y² x²+y²

y

u =

x² + y²’

v = —

x² + y²'

Podnosząc stronami do kwadratu równości (3) i następnie dodając je stronami, mamy

u²+v² =

(4)

1

x² + .y²'

Uwzględniając, że w rozważanym przypadku krzywa C dana jest równaniem x² +y² = 4 otrzymujemy z równania (4)

(5)    u²W = $.

Równanie (5) jest równaniem okręgu, na jaki przechodzi okrąg x²+y² = 4 przy przekształceniu w = 1/z.

b) Korzystając z rachunków przeprowadzonych w punkcie a) mamy

u =

2 . 2 »

x +y

v = —

x²+y²’

x² +y²>0.

Dodając stronami powyższe równości, mamy

(6)

u+v =

x-y

2 , 2 ‘

jr+.r

Ponieważ w. rozważanym przypadku linia C dana jest równaniem y = x, równość (6) przyjmuje postać

(7)    ^    u+v = 0.

Równanie (7) przedstawia prostą w płaszczyźnie (w, u), na jaką przy przekształceniu w = 1/z przechodzi prosta p = x. Punkt z = 0 przechodzi w oo.