str078 (5)

78* I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach wzoru (16), otrzymujemy

“ 00

C v nnc v Wv    *■

(17)

(18)

1* x cos x dx	n
| X^2 —2* + 10	~3?
— 00
+ 00
j' x sin x dx	n
J x^2 —2x + 10	~3?^{

Równość (17) jest rozwiązaniem naszego zadania. Otrzymaliśmy jednocześnie rezultat dodatkowy określony wzorem (18).

Zadanie 10.5. Obliczyć całkę

2jt

Zauważmy teraz, że funkcj; krotne, które są pierwiastkair

Wyznaczając pierwiastki tego

(1)

0

Rozwiązanie. Przyjmijmy

dx

•2a cosx + a²’

0<a<l.

z = e^ix.

Wówczas przy zmianie x od 0 do 2n punkt z przebiega w kierunku dodatnim okrąg C o środku w początku układu i promieniu 1. Z wzorów Eulera mamy

(2)

COS X =

e^lx+e~^ix

Uwzględniając wzór (1) w równości (2), mamy

(3)

Ze wzoru (1) wynika, że

stąd

(4)

COS X =

1

Z+—    ,

Z z² + l

2 2ż ix = ln z,

iz

Wobec powyższego nasza całka / przy podstawieniu (1) przechodzi na całkę krzywoliniową

dz

Ponieważ 0<a<l, tylko biegi duach mamy więc

(6)    J =

gdzie

(7)

Zgodnie ze wzorem (10.2') zt Zj = a, mamy

(8)    res_tlf(z) = res_z,

2 aa-

Podstawiając wzór (8) do w

Zadanie 10.6. Obliczyć c

(1)

Rozwiązanie. Bierzem

(5)

'-1,-7^.-/=

c l—2a---+_a² r

idz

(a² + l)z + a’

gdzie C jest konturem o równaniu |z| = 1.

(2)

której część urojona dla rze Za kontur całkowania C o z czterech części: z odcinka < z — re¹', gdzie 7t</<27r; i okręgu C_R o równaniu z -zakreskowany) funkcja f(z