str044 (5)

44 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

3. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną następujących funkcji oraz sprawdzić, że funkcje te spełniają równania Cauchy-Riemanna:

44 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

a) /(z) = sin z,

c) /(z) = «*,

b) /(z) = cos z,

d) /(z) = z³ .

Odpowiedzi

1. a) Funkcja nie ma w żadnym punkcie pochodnej, tym bardziej nie jest holomor-

ficzna w żadnym punkcie,

b)    funkcja ma pochodną tylko w punkcie z = 0, w konsekwencji nigdzie nie jest holomorficzna,

c)    holomorficzna wszędzie dla z ^ 0.

2. a)/(z) = z³ + Ci,

c)/(z) = — + Ci, z

b) /(z) = z² + 2z + C»,

d) /(z) = -+2iz + Ci,

z

e) /(z)= -2ie^l+Ci,

h)/(z) = lnz + C,

g) /(z) = z²+3iz + C,

i) /(z) = ze^l + l + iz + C,

cosx.

b) u =- cosx, v =

e-r-e* -sin x,

c)    u = e^xcosy, v = e*siny,

d)    u = x³—3xy², v = 3x²y—y³.

§ 6. Całka funkcji zmiennej zespolonej

Definicja 1. Niech /(z) będzie funkcją zmiennej zespolonej określoną^wzdłuż krzywej regularnej C, danej równaniem

(6.1)

gdzie a</</?.    ,

Podzielmy krzywą C w dowolny sposób punktami a = z₀, z_lf z₂, ..., z_B__lt z„ = b na n łuków częściowych (rys. 1.8).