str050 (5)

50 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Zauważmy teraz, że na O A = J_t mamy

z = x, dz = dx, 0 <x<.R.

Wobec tego (6)

I /(^z) dz = j e^ix2dx. J i    o

Drugą całkę po lewej stronie wzoru (5) zamieniamy na całkę zwyczajną, stosując wzór (6.6), § 6. W rozważanym przypadku mamy

i*    iⁿ

J/(z)dz = J exp(iR²e^2lt)Rie“dt = Ri j exp(iR² e^2it) e^u dt,

i*

skąd

| J/(z)dz|<|Ri| j |exp(ii?²(cos2t+isin20)| l^^dt =

r    o

i"    i"

= R J |exp(— R² s'm2t +iR²cos2t)\dt = R J exp( —R^zsin2t)d/,

czyli

| J/(z)dz|<R J exp( — R² sin2t)dt.

sin2/> — 21 dla 0<2t<^7C. n

(7)

Ale wiadomo, że

(8)

Uwzględniając nierówność (8) w prawej stronie nierówności (7), mamy

. _JL_(eip₍._K!)_₁₎₌ ”.łz^E<=55.

4R^y    '    4    R

Wynika stąd natychmiast, że

(9)    lim $f(z)dz = 0.

r-*oo r

Zauważmy na koniec, że na BO = J₂, z = — rexp(/i7t), gdzie — .R<r<0, skąd dz = — drexp(i\n).