20159 str096 (5)

96 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

czyli

(8) gdzie <jo — dowolna liczba rzeczywista.

Podstawiając równość (8) do wzoru (5), mamy

. z —a

(9) w = e*-.

z —a

Ponieważ dla z = a mamy w = 0, to punkt a musi leżeć w górnej półpłaszczyźnie. Reasumując możemy powiedzieć, że wzór (9), gdzie (p oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, a — dowolną liczbę zespoloną, dla której lma>0, jest rozwiązaniem naszego zadania (rys. 1.22).

Zadanie 11.2. Znaleźć najogólniejsze przekształcenie homograficzne odwzorowujące prawą półpłaszczyznę Rez^O na koło |w|<l.

Rozwiązanie. Szukane rozwiązanie ma postać

az + b w = ———. cz + d

Zauważmy teraz, że musi być c # 0, aby oś urojona nie przechodziła w prostą; równocześnie musi być a # 0, aby punkt z = oo nie przechodził w zero. Wobec tego przekształcenie (1) może być napisane w postaci

(4)

Uwzględniając równości (3) i

(5)

Aby wyznaczyć współczynnik Re z = 0, musi odpowiadać i wykazujemy, że

(6)

gdzie ę — dowolna liczba rzc Podstawiając równość (6)

(2)

Zadanie 11.3. Znaleźć ni na koło |w|<R₂-

Rozwiązanie. Szukana

Rozumując analogicznie, jak w zadaniu 11.1, dochodzimy do wniosku, że punkty z, = —bla oraz z₂ = —djc muszą być symetryczne względem osi urojonej. Jeżeli więc

(1)

Widać od razu, że musi byt przeszedłby w punkt wewnęt

7 _ wybrane działy matematyki...