83008 str052 (5)

52 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 88

52 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 88

y D(rR+bt)		l ^J3 C(R+bi)
Ja			Ji
Ą(-R) 0		j, e(R) x

Rys. 1.12

gdzie Ji = AB, J₂ = BC, J₃ = CD, J_A = DA, wykorzystać wartości całki Poissona, zauważyć, że na odcinkach pionowych mamy

|exp( —az²)| = exp( — a Re z²) = exp(—a(R² — y²))<exp^-^exp(—aR²).

£	y- J3	1 b i 2E^l		C
		l		'Ji
A{-R) 0		J,	B(R) x

Rys. 1.11

-exp(—ab²). Wskazówka: zastosować twierdzenie całkowe Cauchy’ego,

rozważać funkcję pomocniczą/(z) = exp(—az²) oraz kontur całkowania C, jak następuje (rys. 1.12):

C = Jj + J2+ J3 + J4 ,

gdzie 7, = AB, J₂ = BC, J₃ = CD, 7, = DA.

§ 8. Wzór całkowy Cauchy’ego i jego uogólnienie

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur C, to w każdym punkcie wewnętrznym z obszaru D wyraża się ona wzorem

(8.1)    m = :dla zeD.

c

Wzór (8.1) nosi nazwę wzoru całkowego Cauchyego. Orzeka on, że wartości /(£) funkcji /(z) na brzegu C obszaru D wyznaczają wartości funkcji w każdym punkcie wewnętrznym.

jeżeli zaś funkcja f(x) zmienne to nie tylko może nie mieć dru ciągła. Wzór (8.2) nosi nazw< go przez n-krotne zróżniczko

Zadania przykładowe

Zadanie 8.1. Obliczyć cali

(1)

gdzie C oznacza okrąg skicrc Rozwiązanie. Zauważm

gdzie

(2)

Funkcja (2) jest holomorficzn ze wzorem (8.1) zastosowań}

Twierdzenie 2 (o istnieniu pochodnych wyższych rzędów). Jeżeli funkcja /(z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym domkniętym D, którego brzegiem jest kontur C, to ma w każdym punkcie wewnętrznym z tego obszaru pochodne wszystkich rzędów. Pochodne te określone są wzorami

(8.2)

/'

«_(ł). f”¹- -A0 _d,

~ ^} J 2rti (£-z)"⁺¹ **

n = 1,2, ..

Uwaga. Własność sformułowana w twierdzeniu 2 odróżnia w sposób istotny funkcje różniczkowalne zmiennej zespolonej od funkcji różniczkowalnych zmiennej rzeczywistej. Różnica ta polega na następującym: jeżeli funkcja /(z) zmiennej zespolonej ma pochodną rzędu pierwszego w pewnym obszarze, to ma również pochodne wszystkich rzędów,

711