str094 (5)

str094 (5)



94 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Uwaga 1. Mówimy, że funkcja u(x,y) jest harmoniczna w punkcie oo, jeżeli jest harmoniczna w pewnym otoczeniu pierścieniowym |z| <cc tego punktu i dąży do granicy skończonej, gdy z = x+iy-+oo.

Uwaga 2. Funkcja harmoniczna w otoczeniu pierścieniowym punktu z0 i ograniczona w dowolnie małym otoczeniu pierścieniowym 0<|z—z0|<<5, jest harmoniczna również w punkcie z0. Wobec tego funkcje określone wzorami (11.13) i (11.13') są funkcjami harmonicznymi w całym obszarze D.

Uwaga 3. Warunek 2° definicji funkcji Greena można wysłowić następująco: Funkcja G(z) jest ciągła w obszarze domkniętym D + C z wyjątkiem punktu z0 oraz ma wartość równą 0 na brzegu C.

Między funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D i funkcją odwzorowującą ten obszar konforemnie na koło |w|<l zachodzi ścisły związek. Mówią o tym następujące twierdzenia:


Widać od razu, że musi być i dziłaby w oś rzeczywistą, a i również a ^ 0, bo w przeciwi przeszedłby w punkt w = 0, brzegowe muszą przejść na


Wobec tego przekształcenie


(2)


Twierdzenie 10. Jeżeli funkcja w = g(z) odwzorowuje konforemnie obszar jednospójny D na koło |wj < 1 w ten sposób, że punkt z0e D przechodzi w środek tego kola, to funkcja G(z, z0) określona wzorem


(11.14)


G (z, z0) = log


1

\g(ż)\


jest funkcją Greena dla obszaru D z biegunem w punkcie z0.

Twierdzenie 11. Jeżeli G(z) = G(z,z0) jest funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D z biegunem w punkcie z0 e D, to funkcja g (z) odwzorowująca konforemnie obszar D na kolo | vtj <1 w ten sposób, że z0e D przechodzi w środek tego kola, określona jest wzorem

(11.15)    w = g (z) = (z — z0)e~h(z),

gdzie

h (z) = u + iv


jest funkcją holomorficzną w D oraz gdzie


u (x, y) — G (z) - log--

|z-z0l


jest funkcją harmoniczną w całym obszarze D, a v(x, y) jest funkcją harmoniczną sprzężoną z funkcją u{x,y).


Zadania przykładowe

Zadanie 11.1. Znaleźć najogólniejsze przekształcenie homograficzne, odwzorowujące górną półpłaszczyznę Im z 5=0 na koło |w|<l.

Rozwiązanie. Szukane odwzorowanie ma postać

az + b


(1)


W =


cz + d


Punktom zx = —bja i z2 = w myśl 2, odpowiednio puń są symetryczne względem ok być symetryczne względem o

(3)

to

(4)

Uwzględniając związki (3) i

(5)

Pozostaje jeszcze wyznaczyć leżącemu na osi rzeczywistej Przyjmując we wzorze (5) z


(6)


*


Ponieważ punkt w określon


1, więc


(7)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
66879 str088 (5) 88 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Definicja 3. Mówimy, że odwzorowa
I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo sprawdzić, że nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełn
str008 (5) 8 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Z wyrazów ciągu (1.4) tworzymy nowy ciąg
str024 (5) 24 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Stąd po przekształceniach dla a 0 mamy(
str042 (5) 42 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Wyznaczyć składowe Kx i Ky wektora natę
str050 (5) 50 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Zauważmy teraz, że na O A = Jt mamy z =
20159 str096 (5) 96 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 96 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMI
75799 str120 (5) 120 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ dwóch cięć (rys. 1.44), homograf
79652 str018 (5) 18 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Zadanie 2.7. Przez powierzchnię p
83008 str052 (5) 52 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 88 52 1. ELEMENTY TEORII FUN
str012 (5) 12 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej

więcej podobnych podstron