94 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Uwaga 1. Mówimy, że funkcja u(x,y) jest harmoniczna w punkcie oo, jeżeli jest harmoniczna w pewnym otoczeniu pierścieniowym |z| <cc tego punktu i dąży do granicy skończonej, gdy z = x+iy-+oo.
Uwaga 2. Funkcja harmoniczna w otoczeniu pierścieniowym punktu z0 i ograniczona w dowolnie małym otoczeniu pierścieniowym 0<|z—z0|<<5, jest harmoniczna również w punkcie z0. Wobec tego funkcje określone wzorami (11.13) i (11.13') są funkcjami harmonicznymi w całym obszarze D.
Uwaga 3. Warunek 2° definicji funkcji Greena można wysłowić następująco: Funkcja G(z) jest ciągła w obszarze domkniętym D + C z wyjątkiem punktu z0 oraz ma wartość równą 0 na brzegu C.
Między funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D i funkcją odwzorowującą ten obszar konforemnie na koło |w|<l zachodzi ścisły związek. Mówią o tym następujące twierdzenia:
Widać od razu, że musi być i dziłaby w oś rzeczywistą, a i również a ^ 0, bo w przeciwi przeszedłby w punkt w = 0, brzegowe muszą przejść na
Wobec tego przekształcenie
Twierdzenie 10. Jeżeli funkcja w = g(z) odwzorowuje konforemnie obszar jednospójny D na koło |wj < 1 w ten sposób, że punkt z0e D przechodzi w środek tego kola, to funkcja G(z, z0) określona wzorem
(11.14)
G (z, z0) = log
jest funkcją Greena dla obszaru D z biegunem w punkcie z0.
Twierdzenie 11. Jeżeli G(z) = G(z,z0) jest funkcją Greena dla obszaru jednospójnego D z biegunem w punkcie z0 e D, to funkcja g (z) odwzorowująca konforemnie obszar D na kolo | vtj <1 w ten sposób, że z0e D przechodzi w środek tego kola, określona jest wzorem
(11.15) w = g (z) = (z — z0)e~h(z),
gdzie
h (z) = u + iv
jest funkcją holomorficzną w D oraz gdzie
u (x, y) — G (z) - log--
|z-z0l
jest funkcją harmoniczną w całym obszarze D, a v(x, y) jest funkcją harmoniczną sprzężoną z funkcją u{x,y).
Zadania przykładowe
Zadanie 11.1. Znaleźć najogólniejsze przekształcenie homograficzne, odwzorowujące górną półpłaszczyznę Im z 5=0 na koło |w|<l.
Rozwiązanie. Szukane odwzorowanie ma postać
az + b
W =
cz + d’
Punktom zx = —bja i z2 = w myśl 2, odpowiednio puń są symetryczne względem ok być symetryczne względem o
to
Uwzględniając związki (3) i
Pozostaje jeszcze wyznaczyć leżącemu na osi rzeczywistej Przyjmując we wzorze (5) z
*
Ponieważ punkt w określon
1, więc