41953 str082 (5)

I

82

1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Stąd

1 (^e>zdz\<	e^iR + e ^iR	1 1	[e«^x+,y)dz |
IJ . r	iR	+ 1 j	J ^ 1

Cr

Cr

1	e^iR + e-^IR\ . 11 11	[e^ixe~^ydz
i	R 1 ^1 1 i 11	J *^2

Cr

e^ixe~^ydz\

2|cosR| I r

R ⁺ IJ

Cr

2    \e^ix]e~^y    2    1    2    n

— H--y— JtR ^ —t- —y TtR. — — H—

R \z\²    R    R²    R    R

bo |e'^z| = 1, |z| = /?, e ^y<\ na C_R. Ostatecznie

(15)

e'^zdz\ (2 + 7t)

J | R

Z nierówności (15) wynika, że (16)

fe^izdz _n

lim -= 0.

K -»co J Z

Cr

Przechodząc do granicy w równości (8) przy r->0 oraz R-* co, otrzymujemy po uwzględnieniu (14) oraz (16), że

■J*

„ sinx

2i |-dx+ni = 2iri,

o

skąd natychmiast

co

f^sinxJ 1 I-dx = 4it.

J ^

Zadanie 10.7. Określić liczbę pierwiastków równania

(1)    z⁵ —5z³ —2 = 0, leżących wewnątrz koła |z|<l.

Rozwiązanie. W celu rozwiązania naszego zadania przyjmijmy

(2)    g (z) — z*—2,

(3)    f(z) = —5z³.

Biorąc pod uwagę (2) i (3), możemy równanie (1) napisać w postaci

(4)    m+g(.z) = o.

Zauważmy następnie, żcjdla^

(5)    I /(

(6)    If71

Ze wzorów (5) i (6) wynika

(7)

Wobec tego zgodnie z twie wewnątrz koła jednostkowegi Ta ostatnia zaś, jak widać, n sekwencji równanie (1) ma v

Zadanie 10.8. Wyznaczyć

(1)

gdzie a>l, leżących w kole Rozwiązanie. W celu r

(2)

(3)

Zauważmy następnie, że dla

(4)

(5)    lff(z)l = l<

Zc wzorów (4) i (5) wynika

(6)

Wobec tego na mocy twierd: koła jednostkowego tyle pień jak widać, ma wewnątrz koł; nie (1) ma wewnątrz koła ji

Zadanie 10.9. Wykazać, a₀ = 0, ma dokładnie n zer Rozwiązanie. W celu g(z) = a₁zⁿ“¹ + ... + a_ll-iZ+i

wówczas dla |z| = R i |z|>.

Wobec tego na mocy twie: \z\ < R tę samą ilość zer, il< dać, ma wewnątrz koła n z —<j(z)|>0. Zatem twierdzer

6*