Obraz 7 3

I 'Hi

wius/.a, a drugi oznacza numer kolumny. Wielkość n_ik oznacza liczbę ele-iiicnlów próby, którym odpowiada wariant x_t oraz wariant yj (i = 1, 2,r; /    1,2, ...,5).

Prawdziwe są przy tym następujące równości:

Z Zⁿik =n>

1=1    *=1

(6.35)

Ż ⁿik = ⁿi. Źⁿ/Jt = ⁿ-k i = 1. 2,r, * = 1, 2,r,

Pi. =■

()statni wiersz powyższych równości zawiera oszacowania prawdopodobieństw brzegowych. Następnie formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną, otrzymując:

H₀: p_ik = Pi.p.k dla i = 1, 2,..., r, k = 1,2,..., s,    (6.36)

//1: przynajmniej w jednym przypadku powyższa równość nie zachodzi.

Przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ oszacowanie prawdopodobieństwa łącznego zapiszemy w postaci:

n n

Pik =Pi.P.k =■

Wybieramy poziom istotności a oraz sprawdzian hipotezy o postaci:

(6.37)

*    ~ ^flPik )

i=l k=1    ⁿPik

który przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej Ho podlega rozkładowi chi-kwadrat dla (r- 1) ■ (s- 1) stopni swobody. Uwzględniając hipotezę alternatywną oraz poziom istotności, budujemy obszar krytyczny o postaci:

Z_k=(xl~),

gdzie Xa odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla (r-1) • (s-1) stopni swobody.

Następnie na podstawie wyników próby obliczamy wartość empiryczną sprawdzianu. Jeśli wartość empiryczna sprawdzianu mieści się w zbiorze krytycznym, hipotezę o braku współzależności odrzucamy na przyjętym poziomie istotności.

Przykład 6.12

W trakcie badań mających na celu stwierdzenie zależności występujących pomiędzy poziomem wykształcenia telewidzów i ich opinią na temat wybranych teleturniejów wylosowano próbę 500 osób i zanotowano następujące wyniki:

-    spośród 300 osób z wykształceniem co najwyżej średnim 50 osób oceniło teleturnieje jako „doskonałe”;

-    spośród 200 osób z wykształceniem wyższym ocenę „doskonałe” wystawiło 25 telewidzów.

Przyjmując poziom istotności równy 0,05, należy sprawdzić hipotezę o niezależności opinii o jakości teleturniejów od poziomu wykształcenia telewidzów.

Formułujemy hipotezę zerową H₀ oraz hipotezę alternatywną H\, co zapiszemy następująco:

H₀: opinia telewidzów nie zależy od poziomu wykształcenia,

H_x\ opinia telewidzów zależy od poziomu wykształcenia.

Przyjmując poziom istotności a = 0,05 oraz uwzględniając hipotezę alternatywną budujemy obszar krytyczny, biorąc pod uwagę statystykę chi-kwadrat z jednym stopniem swobody, otrzymując:

Zk - (3,841; °°).

Do obliczenia wartości empirycznej sprawdzianu hipotezy wykorzystamy dane zawarte w tabelach 6.2 i 6.3.

Tabela 6.2

Poziom wykształcenia telewidzów i opinie na temat teleturniejów

Opinia	Wykształcenie co najwyżej średnie	Wykształcenie wyższe	«/.	Pi.
Doskonały	50	25	75	0,15
Niedoskonały	250	175	425	0,85
«.*	300	200	500	X
P.k	0,6	0,4	X	1,00

Źródło: obliczenia własne.