Picture9

17. W pr/csd/cni funkcji ciągłych zbadać liniowi) zależność wektorów: n) I, 8in'.v, cos v. b) I, <>', e*.

IN. W przestrzeni wielomianów stopnia pierwszego, tzn. w (P\,R, +, •), gdzie:    {/»( v) -a_Q + ci\x\ a», a\, e R} zbadać liniową zależność wektorów:

a)    1,x- l,* + I,

b)    x 1, jc+ 1.

19.    W przestrzeni (R\ R, □. *), gdzie:

xay = (.v,,x₂) □ (vi,^2) = (*i +yux₂ +y₂ +1), a * ,v = a * (a*i, x₂) = (ax\, ax₂ + a - 1), a e R zbadać liniową zależność wektorów: n) (KO), (0,1),

b)    (1,2), (2,4),

c)    (1,2), (2,5).

20.    W przestrzeni (R+, R,n,*), gdzie:

x o y — x ■ y, a * x = x^u, a e R zbadać liniową zależność wektorów:

a)    *1 = 1, x₂ = 2,

b)    a, = 2, a₂ = 3,

c)    A| = 2, a₂ = 3, Aj = 4, a₄ = 5.

4.2. Baza przestrzeni wektorowej

A - dowolny podzbiór przestrzeni wektorowej (V, K, +, •),

IĄA) - zbiór wszystkich kombinacji liniowych utworzonych z wektorów zbioru A:

U(A) = {oi|Ai + cc₂a₂ + ... + a,ąr„: a, e A, a, e K, i = I,..., n, neN).

Definicja 4.3

Zbiór A c V, dla którego zachodzi równość U(A) = V, nazywamy układem generującym przestrzeń, a przestrzeń V przestrzenią generowaną przez zbiór A.

I >«'f i nic j:i 4.4

Zbiór A c V nazywamy bazą przestrzeni wektorowej V wtedy i tylko wled> gdy A jest układem generującym V i gdy każdy skończony zbiór wek im ów vi,.... *„'zbioru A jest układem wektorów liniowo niezależnych.

Definicję tę można zapisać formalnie następująco:

Zbiór A <z V jest bazą przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy:

1° A V V * = a.*. + ... + a *,    (4 l)

jr«r .r,eA a, u_weA.'

2° A (*,,x_n e A => jc, ,* są liniowo niezależne).    (4.4)

*1.....

Innymi słowy: Baza przestrzeni wektorowej to każdy maksymalny, liniowo niezależny układ wektorów tej przestrzeni.

Wzór (4.3) przedstawia jednoznaczny rozkład dowolnego wektora v w do wolnej bazie X\,

Definicja 4.5

Liczbę wektorów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy dim V. Jeżeli w przestrzeni wektorowej istnieje dowolna (nieskończona) liczba wektorów liniowo niezależnych, to przestrzeń tę nazywamy nieskończenie wy miarową.

Przykład 4.2

Zbadać, czy podane wektory tworzą bazę przestrzeni R':

a)    *, = (1,3,2),    *₂ = (2,4, 4), *₃ = (-1,1,2),

b)    *,=(-1,0.2),    *₂ = (3,0, 2), *₃ = (-4,0, 2),

c)    *, = (-1,0,2),    *₂ = (3,0, 2).

Ad a) W przykładzie 4. la wykazaliśmy, że wektory x\, x₂, *₃ są liniowo nie zależne. Sprawdzimy teraz, czy wektory *,, *₂, *3 tworzą układ generujący prze strzeń R³.

Niech * jest dowolnym wektorem * = (a, b, c), gdzie a,b,cs R. Czy wek tor * da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów*!, *2, *3?

* = a,*, + (X2*2 + 0,3*3, Ol, 02, 03 € R,

(a, b, c) = a,( 1, 3, 2) + a₂(2, 4,4) + a₃(-l, 1, 2),