img011

u

4. Zbiór wszystkich funkcji ciągłych f« 4 a ,b>R wraz z funkcję

d (f,g) •    lł(x) - g(x)|

^c    xt<»,b>

zwany metryk# Czebyszewa* , tworzy przestrzeń metryczny C <a,b>(zobacz ćwiczenie 1.3).

Podane przykłady wskazuj#. Ze warunki (i) - (lii) nie wyznaczaj# odległości d w danys zbiorze Z jednoznacznie. Inaczej mówlyc, w da-nya zbiorze można wprowadzić metryk# (można gozmetryzować) ne wiele różnych sposobów. Na przykład, w zbiorze Rⁿ uporzydkowanych układów n liczb rzeczywistych wolna określić odległość tak#, jak w przykładzie 2 (otrzymujemy wówczas przestrzeń Metryczny E_n) bydź też tak#, jak w przykładzie 3 (otrzymujemy wtedy przestrzeń metryczny Eⁿ).

Zwróćmy też uwag#, Ze z przykładu 1 wynika, ii w każdym zbiorze można wprowadzić co najmniej jedn# metryk#. Inna sprawa, że metryka dyskretna Jest "mało subtelna", gdyż każde dwa punkty'zbioru Z, które a# różne , *# w    tej metryki równoodległe.

Oasne Jest, żs jeżeli (Z,d) Jaet przestrzeni# metryczny 1 X Jeet podzbiorem zbioru Z, to (X.d) jeet również przestrzeni# metryczny. Mówiąc inaczej, metryka d w zbiorze Z indukuje metryk# w dowolnym Jego podzbiorze. Przestrzeń (X,d) nazywane Jest też podprzestrzenny przestrzeni metrycznej (Z,d).

Wiele poJ#ć możawy zdefiniować tylko przy pomocy odległości. Nazywamy Je pojęciami metrycznymi.

Przykłady pojęć metrycznych w dowolnej przestrzeni metrycznej (Z,d)t

1.    Niech p, qcZ, p >i q. Odcinkiem pq nazywamy zbiór

pq » (xtZ: d(p,x) ♦ d(x,q) • d(p,q)}

Często, zamiast odcinek pq mówimy odcinek łęczycy elementy p i q.

*“----•— -9-

Na ryeunku 1 przedstawiono odciirek pq w przestrzeni E . Proatokyt znaczony na rysunku 2, Jeet też odcinkiem pq, ols w przestrzeni Eg.

Można sprawdzić, że w przestrzeni C <a,b> odcinak łęczycy fenkcje 2 2 2 f*x—»>x i g:x—*x ♦ 2 Jest zbiorem wszystkim funkcji    x —-x ♦e,

gdzie e c < 0,2 > .

2.    Mówimy, że element xeZ leży między punktami p i q w sensie metryki d, jeśli z e pq.

Pafnucy Lwowiez Czobyszew (26 V 1821 - 26 XI l89*ł) ~ matematyk rosyjski, który zajmował się głównie teorią interpolacji i przybliżeniami funkcji, teorią liczb i rachunkiem prawdopodobieństwa Ijest m.in, jutoresi twierdzenia znanego Jako prawo wielkich liczb). Praktyczna przydatność prac Czebyszewo i ich bogata probJe«atyka- spowodowały, że w chwili obecnej Jego nazwisko jest czysto cytowane w różnych podręcznikach (wielomiany Czebyazewa, nierówność Czebyszewa i in»)«