25125

4.    Zbiór wszystkich funkcji określonych na pewnym przedziale względem zwykłych działań jest pierścieniem przemiennym z jedynką - funkcją stałą, równej 1 na tym przedziale.

5.    (Q|x], +, •) - pierścień przemienny

6.    (M_n(R), +, •) - pierścień nieprzemienny

7.    Algebra Boole’a (p(X), u, n) - nie jest pierścieniem

8.    (p(X), ©, n) - pierścień przemienny, gdzie X - dowolny zbiór, ©-różnica symetryczna

9.    (Z_n,+, •) - pierścień przemienny [x]+[y]= [x+y], [x] • [y]=[xy]

Dziedziny całkowitości i ciała

Definicje

0 * a e P nazywamy lewym dzielnikiem zero, jeśli 3xe P, x * 0, taki, że ax=0.

0 *ae P nazywamy prawym dzielnikiem zero, jeśli 3\ye P, y * 0, taki, że yr/=0. Jeżeli 0 * a e P jest lewym i prawym dzielnikiem zero, to a nazywamy dzi elniki em zero.

Pierścieniem bez dzielników zero nazywamy pierścień, którego żaden element nie jest dzielnikiem zero. Pierścień przemienny, z jedynką i bez dzielników zero nazywamy dziedzina całkowitości lub pierścieniem całkowitym.

Przykłady

1.    Zbiór liczb całkowitych Z jest pierścieniem całkowitym.

2.    Zbiór reszt modulo Z5 jest pierścieniem całkowitym.

3.    Zbiór reszt modulo Z* nie jest pierścieniem całkowitym.

4.    (p(X), ©, n) nie jest pierścieniem całkowitym.

5.    (M_n(R), +, •) nie jest pierścieniem całkowitym.

Twierdzenie (własność skracania)

Jeśli x jest niezerowym elementem dziedziny całkowitości (R, +, •) i xa=xb, to a=b.

Dowód.

Jeśli xa=xb, to x(a - b) =xa - xb =0. Ponieważ R nie ma dzielników zera, to a-b=0, stąd a=b.