8416072479

Najczęściej będą nas interesować funkcje ciągłe określone na pewnym ustalonym zbiorze zwartym Q € R^d, mające wartości rzeczywiste. (Gdy d = 1, najczęściej będzie Q = [a, 6].) Niech więc naszym zbiorem X będzie zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na O,. W X łatwo określimy, w sposób naturalny, operację + - dodawania elementów, oraz operację mnożenia ich przez liczby. W ten sposób w zbiorze X zbudujemy strukturę przestrzeni liniowej. Mamy już przestrzeń liniową X. Jeśli fi jest zbiorem o nieskończonej mocy, to wymiar (algebraiczny) X jest nieskończony.

W naszej przestrzeni liniowej X możemy teraz określić normę na różne sposoby. Nasza przestrzeń X stanie się w ten sposób przestrzenią liniową unormowaną.

Najczęściej w X używa się normy ”supdla / G X

||/||oc,S! = SUp|/(t)|. i€0

Jeśli nie będzie wątpliwości co do zbioru fi, będziemy pisać krócej ||/||oo-Zbieżność w sensie normy || • ||oo,0> to zbieżność jednostajna w fi. Inną normą, z którą będziemy mieć do czynienia to norma L²(fi)

\\fh = ([\m\²dn)?.

Jn

Aproksymacja w sensie każdej z tych norm ma inne własności.

INTERPOLACJA LAGRANGE’A

Niech X będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji ciągłych, określonych na skończonym przedziale domkniętym [a, b] C R; niech P będzie zbiorem wszystkich wielomianów jednej zminnej rzeczywistej. Szczególnym rodzajem aproksymacji elementów przestrzeni X przez elementy jej podprzestrzeni P jest interpolacja w sensie Lagrange’a

(1.1) Zadanie interpolacji wielomianowej, globalnej w sensie Lagrange’a

W przedziale [a, b] dany jest układ n+1 różnych punktów zwanych węzłami: a < £o < X\ < X2 < • • • < x_n < b.

3