10 (33)

184

9. Funkcje wielu zmiennych

9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i określoną na otwartym wypukłym zbiorze E c R", odwzorowującą E w R^m. Jeżeli istnieję liczba M taka, ir(ff ^#*4 M dla xeM,to dla dowolnych a, b e j? '•    T " ‘

lf(b)-f(a)r#M|b-a|.

Dowód- Ustalmy ae£ibe £. Określmy y(t) = (1—r)a+ tb dla tych wszystkich t eR^l, dla których y(t) e E. Ponieważ E jest zbiorem wypukłym, więc y(t)e£ dlaO < t    Niech g(/) =_;

js f(y^)).Wtedy

g'(/)^f^?(y(0)y'<t)-f'(y(0)(b-a) i wobec tego dla t e <0,1) mamy

lgTOI < l|ffat))|| |b-a| < M|b—a|.

Na mocy twierdzenia 5.19 |g(l) - g(G)j < M|b- a|, ale g(0) = f(a) oraz g(l) = f(b), co kończy dowód.

WNIOSEK. Jeżeli w założeniach poprzedniego twierdzenia dodamy warunek f'(x) §| 0 dla dowolnego xto fjestfunkcją stałą.

Dowód. Zauważmy, Że obecnie założenia twierdzenia są spełnione przy M = 0. .

9.20.    Definicja. Mówimy, że odwzorowanie róźniczkowalne f zbioru otwartego E c R" w przestrzeń £^M jest róźniczkowalne w sposób ciągły w £, jeśli f'jest odwzorowaniem ciągłym Ew URⁿ, R”).

Wyraźniej, żądamy, żeby dla każdego x^;'ć Ei dla dowolnego i > 0, istniała liczba <5 > 0| taka. że ||f'fy}-f^x)|j p ą dla y # £ i |x-yf jg||0

Jeśli to zachodzi, mówimy, że f jest ^'-odwzorowaniem.

9.21.    TWIERDZENIE. Załóżmy, że f odwzorowuje zbiór olwarty M <= R” w R^m. Odwzorowaną

nie    wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne cząstkowe Djf_t istnieją i są ciągłe m E dla

1    m, WfJMj#j| ^

Dbwód. Załóżmy najpierw, że fe <<?'(£). Z (27) wynika, że (Djjd(x) = (f'(x)Cj) • u, | dla dowolnych i,j oraz xeE. Zatem

a ponieważ ju₂[ —    == T, wynika stąd, że

\(Djf)(y)-(Djf)(x)\ < |[f'(y)-f'(x)]e_/| < ||f'(y)-f'(*)ll i wobec tego Djf jest funkcją ciągłą.

Dla dowodu twierdzenia w drugą stronę, wystarczy rozpatrzyć przypadek m = 1. (Dlaczego?) Ustalmy xe£ie > 0. Ponieważ £ jest otwarty, więc istnieje kula otwarta S ć £ o środku w punkcie x i promieniu m Z ciągłości funkcji D jf wynika, że r może być dobrane tak, żeby