426907377

19

Wykład 3

Dowód twierdzenia 3.2

Załóżmy, że v_n jest określona na [<o> ^i]- Mamy:

gdzie L to stała Lipschitza funkcji F w kierunku x.

Funkcja v(t) = ||v„(t) — u(t)\\ spełnia założenia Lematu Gronwalla, wariantu całkowego liniowego:

v(t) < u(to) + / L ■ v(s)ds.

Jto

Zatem

IM*) - “Wll < e^Ł<‘"‘"⁾||!)„((o) - m(*o)||

więc ||v„(to) ^— u(t₀)|| —> 0 implikuje V_t||u„(t) — u(t)\\ —> 0. Dla zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że dla v_n(to) dostatecznie bliskich u(t₀), v_n istnieje na przedziale [t_Q, tj. Oznaczmy e = dist((t,u(t)),dG). (Można przyjąć, że dG ^ 0; w przeciwnym razie istnienie v_n na [to, ti] wynika bezpośrednio z Tw. Picarda-Lindelófa.) Przypuśćmy, że rozwiązanie v_n(t) nie przedłuża się na [to,ti]. Wtedy istnieje t? 6 [to, ti], takie, że dist((t2,v_n(t2)),dG) < |, (wynika to z Tw. 3.1; nie może być u oo z lipschitzowskości F). Zatem ||u_n(t2) — ^(^2)|| > §• Możemy założyć, ze dla t : to < t < t%, ||u_n(t) — u(t)|| < |, możemy więc skorzystać z wykazanej w pierwszej części dowodu nierówności

sprzeczność.

Prawa strona dla dużych n, czyli ||u_n(to) — w(to)|| małych jest mniejsza niż |, co daje

□

G

Rysunek 3.3: Ilustracja dowodu twierdzenia 3.2