10 (72)

223

Formy różniczkowe

10.24. TWIERDZENIE. Załóżmy, że co jest k-formą na pewnym zbiorze otwartym E <=■ R",$ jest k-powierzchnią wE,o zbiorze parametrów D c R^k i A jest k-powierzchnią w R^k, zdefiniowaną równością zl(u) = u (n e D). Wtedy

jco= fco*.

0    A

Dowód. Wystarczy rozpatrzyć przypadek co = a(x)dx_ti a ... a dx_k. Jeśli <p_u..., <f_n są składowymi <f>, to

co# = a($(u))d <p_ix a ... a d Ł Twierdzenie będzie dowiedzione, jeśli wykażemy, że

(72)

gdzie

df_ix a ... A = J(u)dui a ... ĄdUfc,

d(x„,..., x_Ł) d(u_lt ...,u_k)’

bo z (72) wynika, że

fco = j^,£j(<P(u))j(u)du = ja(4^u))J(u)du₁ a ... a du_k = W

*    D    A    A

Niech [.4] będzie macierzą o fc wierszach i k kolumnach, składającą się z elementów

*(P> 4) = (£», 9>,_p) (u)    (p, q = 1,..., k).

Wtedy

^d(pi, = Z«(p»

4

a więc

W ostatniej sumie q_k, ci (42) wynika, że

d«p,. a,., a d<p_Ł - £a(l, q!)...a(k, q_k)du_qx a ... a du_qt.

...,q_k przyjmuje niezależnie wartości 1.....k.Z prawa antyprzemiennoś-

du_ti A... Adu,, = stoi,..., q_k)du_l A... A du_k, gdzie s jest takie jak w definicji 9.33; stosując tę definicję, widzimy, że

d<p_ix A... Ad— det [/ł]du! a ... a dn*;

i ponieważ J(u) = det[/4], więc (72) jest dowiedzione.

Końcowy wynik tego rozdziału łączy dwa poprzednie twierdzenia.

10.25. TWIERDZENIE. Załóżmy, że Tjest W-odwzorowaniem pewnego zbioru otwartego E a R" w zbiór otwarty V a R^m, 4> jest k-powierzchnią w Ei co jest k-formą na V. Wtedy