0398

§ 2. Funkcje uwikłane

399

Twierdzenie II. Załóżmy, że

1)    funkcja F(x, y) jest określona i ciągła w prostokącie

@ = (x₀-A, x₀ + A ; y₀-A', y₀ + A'}

o środku w punkcie (x₀, y₀);

2)    pochodne cząstkowe F'_x i F'_y istnieją i są ciągłe w ;

3)    funkcja F(x, y) jest w punkcie (x„, y₀) równa zeru: F(x₀, y_o)^0;

4)    pochodna F_y(x₀, y₀) jest różna od zera.

Wówczas prawdziwe są wnioski a), b) i c)

z twierdzenia I i oprócz tego d) funkcja /(x) ma ciągłą pochodną.

Dowód (rys. 113). Niech na przykład F'_y{xo, y_o)>0; ponieważ pochodna F'_y(x, y) jest na mocy 2) ciągła, więc można zbudować taki kwadrat

<x₀-<5\xo + ^<5';yo-^<5'> •ł^,o + ^<5'>

(<5'<d i d'<A’),

żeby dla wszystkich jego punktów było F_y(x, y)>

> 0 (¹). Dla tego kwadratu spełnione są wszystkie założenia twierdzenia I, monotonicz-ność funkcji F(x, y) względem y dlax=const wynika mianowicie z tego, że F_y>0 [132], Tym samym wnioski a), b) i c) można uważać za udowodnione.

Przechodzimy do dowodu tezy d). Przez y będziemy teraz oznaczali tę funkcję uwikłaną y=/(x), która jest określona równaniem (1) i spełnia je tożsamościowo. Nadajmy zmiennej x przyrost Ax; powiększonej wartości x+^dx odpowiada wartość y+Ay=f(x+Ax), która wraz z x+Ax spełnia równanie (1), F(x+Ax, y+Ay)=0. Oczywiście przyrost

AF(x, y) = F(x+Ax, y+Ay)-F(x, y) = 0 .

Przedstawiając AF według wzoru (1) z ustępu 178 otrzymujemy

0=AF(x, y) = F'_x(x, y)Ax+F'_y(x, y)Ay + ocAx + fiAy a. i fi zależą od Ax i Ay i dążą do zera, gdy Ax i Ay jednocześnie dążą do zera. Stąd

Ay ^ F'_x(x,y) + a Ax F'_y(x, y) +fi'

Niech Ax dąży do zera; wobec udowodnionej już ciągłości funkcji y=f(x) (patrz b)) musi przy tym także Ay dążyć do zera, a zatem również a->0 i fi-*0. Ponieważ F_y^0, istnieje granica prawej strony, a tym samym istnieje pochodna y względem x

F'_x(x , y)

y‘

yo+A'

yo⁺$'

yo

yo-d'

				**>	V $
					\
	✓		1 1 1
	/ i		1 1 1		_

-H-

-H- ■ . .

Xq—($ j Xq j Xq+Ó x Xo~($o Xq+-Oq

ot

Rys. 113

(3)

,    , dy

/'(*) = / = Hmf =

jx-*o Ax F_y(x, y)

O Dla funkcji wielu zmiennych jest bowiem prawdziwe twierdzenie analogiczne do lematu z ustępu 80, udowodnionego dla funkcji jednej zmiennej.