426907371

Wykład 3

Definicja 3.1 Załóżmy, że funkcja F jest określona na obszarze otwartym G C R x R^m. Mówimy, że dla u, v - rozwiązań równania x = F(t,x), na odcinkach czasu (otwartych, otwarto-domkniętych lub domkniętych) v przedłuża u (piszemy udu), jeżeli wykres u jest zawarty w wykresie u.

Jest to relacja częściowego porządku. Dla dowolnego liniowo uporządkowanego podzbioru rozwiązań istnieje rozwiązanie u, zawierające jego wszystkie elementy (jako u należy wziąć sumę teoriomnogościową danego podzbioru). Zatem, z lematu Kuratowskiego-Zorna, dla każdego rozwiązania u, istnieje rozwiązanie v, które już nie da się przedłużyć (maksymalne w sensie inkluzji). Takie rozwiązanie nazywa się wysyconym.

Możliwość rozszerzenia dowolnego rozwiązania u do rozwiązania wysyconego możemy udowodnić także w sposób czysto analityczny, poprzez przedłużanie u do rozwiązania takiego, że na jego dziedzinie (o, b), dla t a lub t —> b zachodzi u(t) —> dG. Takie rozwiązanie musi być wysycone, gdyż w przeciwnym wypadku jego dalsze rozszerzenie przechodziłoby przez dG, czyli nie byłoby zawarte w G (gdyż z założenia G jest zbiorem otwartym).

Uwaga

Ponieważ G jest zbiorem otwartym, dziedziną rozwiązania wysyconego u może być tylko przedział otwarty (a, b), —oo < a < b < oo. Gdyby dziedziną u był np. odcinek (o, 6], to u(b) 6 G i u można by przedłużyć na [6, b + e) z Tw. Peano (to rozumowanie zawarte jest też w dowodzie poniższego Tw. 3.1).

Twierdzenie 3.1 Jeśli u jest rozwiązaniem wysyconym na dziedzinie (a,b), to dlat -t a, t b mamy u(t) —» dG lub t —» ±oo lub u —» oo.

Dowód twierdzenia 3.1

Przypuśćmy, że u jest rozwiązaniem wysyconym. Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n zdefiniujmy:

E_n = {(f,x) € G : p_e((t,x),dG) > — i II(i,a;)II < n), n

o ile dG jest niepusty (p_e oznacza odległość euklidesową w R x R^m). W przeciwnym przypadku niech:

£„ = {(*,*) :||M)||<n}.

Oznaczmy sup(_tI)_eBn ||F(i,x)|| symbolem M_n.

V„3_TnV_(t>u(_t))_GEnV_r t < t < t + r_n =*> (r, u(r)) 6 E_n+l.

14