82313

do tej samej granicy właściwej, to mówimy, że funkcja f jest całkowalna na (a. b) a granicę ciągu sum całkowych {/?(/. 17(/>), Af(p))}£L, nazywamy całką Riemanna funkcji f i oznaczamy

f f(x)dx

Ju

To znaczy

/ /(ar) dx = lim li(f. H(^), A* (p))

Uwaga 1.2 Jeżeli funkcja f : (a, b) —> 72. jest całkowalna, to

Przykład 1.1 Korzystając z całkowalności funkcji f{x) = x oraz z powyższego faktu obliczyć Jg .r dx

1.1 Zastosowania

1.    Pole trapezu krzywoliniowego

Niech funkcja /.{«,&) -> 72 będzie ciągła i uieujemua. Ił oz patrzmy trapez krzywoliniowy

D = {(ar, y) € H⁷ : a ^ x ^b, O^y^ /(a:)}

Poh; |D| trapezu krzywoliniowego jest. granicą sumy pól prostokątów D_k = {(-c.y) € 1Z² : x_k-i ^ a < x_k, 0 ^ y < /(&)}, gdy _plim cr(n(p)) = 0. Zatem

^mO)

PI = Km £ /K») (*«- *«-i) = J₍ fte) <^l*

2.    Objętość bryły obrotowej

Weźmy normalny ciąg podziałów I7(p) = {o =    < .... < x_m(_P) = 6}

i ciąg punktów pośrednich A” (/a) = {&, i = 1,2..., tn{p) , ar<_i ^ £, < ar,}. Niech V oznacza bryłę ograniczoną powierzchnią powstałą z obrotu wykresu nicujomnoj funkcji y = /(.r), gdzie a < x < b wokół osi Ox oraz płaszczyznami x = a i x — b. Niech AV* oznacza objętość walca o wysokości /?* = ar* -i promieniu podstawy /(£*). Wtedy

n*(p)    »»(p)

l^v'l = jSł 51 l^AV*l = Z “/²fó) (*» - ^xi-i) ^{= 7r}/_ń /*(*)<^lx

3. Uzasadnić, że długość |L| wykresu funkcji / € Ć^Ł(ci.6) wyraża się wzorem:

|i|= t Jl+ (}'U) fdx

Ja

2