5910202080

13

Ośrodkowość. Bazy topologiczne

Jasne jest, że funkcja || ||i jest normą na X oraz, że dla dowolnej normy || || na X zachodzi nierówność

W < C|Mli, xeX.

Wynika to z nierówności

m    u m    m

< y, MINII <    Nil-

k= 1    ''    k= 1    ^ ''^m k=l

Załóżmy, nie wprost, że normy || ||i i || || nie są równoważne. Możemy więc dla każdej liczby naturalnej n znaleźć taki element x_n € X, że

IWIi > n||rr„||.

Stąd dla y_n = ^ x_n otrzymamy ||y_n||i = 1 oraz ||y_n|| —> 0 przy n —> oo. Ciąg {yn} jest zatem zbieżny do zera w normie || ||. Ciąg ten nie musi być zbieżny w normie || ||i, ale jako ograniczony, zawiera (na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstras-sa) pewien podciąg zbieżny {y_nk }. Dla jego granicy y z jednej strony mamy y ^ 0, bo ||?/||i = limfc-,00 ||?/nj|i = 1, a z drugiej y = 0, bo zbieżność w normie || ||i pociąga zbieżność w normie || ||. Tu sprzeczność.

Zupełność przestrzeni X w normie || || wynika z twierdzenia 1.19 i oczywistej zupełności X w normie || ||i. Q

Ośrodkowość. Bazy topologiczne

Jeżeli przestrzeń unormowana ma podzbiór przeliczalny gęsty, to mówimy, że jest ośrodkowa, a sam podzbiór nazywamy ośrodkiem.

1.23. Fakt. Przestrzeń unormowana X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera przeliczalny podzbiór liniowo gęsty P, tzn. lin P = X.

Istotnie, jeśli zbiór P = {x\, X2, £3, • • •} jest liniowo gęsty w X, to kombinacje liniowe postaci Ai^i + \2X2 4-... + X_nx_n, G W + i W, tworzą zbiór przeliczalny gęsty w X.

Każda z przestrzeni £^p, 1 < p < 00, jest ośrodkowa, podzbiór przeliczalny gęsty tworzą tu ciągi z jedynką w dokładnie jednym miejscu. Przestrzeń £°° nie jest ośrodkowa, każde dwa różne ciągi zero-jedynkowe są odległe od siebie o 1, a jest ich nieprzeliczalnie wiele. Funkcje charakterystyczne przedziałów otwartych o końcach wymiernych tworzą przeliczalny zbiór liniowo gęsty w każdej z przestrzeni //(IR),