3784494687

Zadanie 2. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d zachodzi nierówność

(a + b+c+d)² < 3(a² + 6² + c² + d²) + 6a6.

Rozwiązanie Sposób I

Na mocy nierówności pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną (zob. uwaga niżej) zastosowanej do liczb a + b, c i d otrzymujemy

I (a + b)² + c² + d² ^ I (a + 6) + c+d|

V 3    ^>|    3 r

skąd 3(a² + 6² + c² + d²) + 6aó> (a + 6+c+d)².

Sposób II

Zachodzą następujące związki:

3(o² + 6² + c² + d²) + 6aó — {a + b + c+d)² =

= 3 a² + 36² + 3c² + 3d² + 6aó

— a² — b² — c² — d² — 2 ab — 2ac — 2 ad — 2 bc — 2 bd — 2 cd =

— 2 a² + 2b² + 2 c² + 2 d² + 4 ab — 2 ac — 2 ad — 2bc — 2 bd — 2 cd =

= (4a² + 46² + c² + d² + 8 ab — 4 ac — Aad — Abc — 4 bd + 2 cd)

+ |(c² + d² — 2cd) =

= ^(2a + 26 — c — d)² + |(c — d)² >0.

To kończy dowód danej nierówności.

Uwaga

Nierówność pomiędzy średnią kwadratową a arytmetyczną orzeka, że dla dowolnych liczb rzeczywistych xi,X2,...,x_n,

(i)

xi + xź + ... + x£

ari+*2 + ...H

Jest to szczególny przypadek nierówności Schwarza (zob. Dodatek „Nierówność Schwarza”, str. 112). Równość w nierówności (1) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z, =    =... = x„.

Zadanie 3. W trójkącie równoramiennym ABC kąt BAC jest prosty. Punkt D leży na boku BC, przy czym BD = 2-CD. Punkt E jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą AD. Wyznaczyć miarę kąta CED.

Rozwiązanie Sposób I

Niech F będzie rzutem prostokątnym punktu C na prostą AD (rys. 1). Ponieważ

$CAF = 90° -$BAE= $ ABE oraz AB = AC,

34