img036

36

Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b spełniona Jest nierówność a² ♦ b² > a, więc korzystając z (3.1) i (3.2), otrzymujemy

l > |[d₁(x_#x)]² ♦ [d₂(y,$)]^ZJ*    dla k>n i l>n

co oznacza, że cięg £,$,... punktów zbioru Z. Jest fundamentalny w przestrzeni (Z«,d ), czyli istnieje lim x « x eZ . Analogicznie dowo-

l 1    u    n -*ao    l

dzi się, że istnieje glim^y ■ yeZg.

Ponieważ

d[(x,y),(x,y)] 4 d [(x,y) ,(x,y)] ♦ d[(x,y)    dj(x,x) ♦

♦ d₂(ę,y) ♦ d₁(x,ł)*^ d₂(y_fy)

(korzystaliśmy tu z równości (3.1), z aksjomatu trójkęta oraz z nierówności ^ a²»b² 4 a+b słusznej dla dowolnych liczb nieujemnych a,b), więc'    (5_#9) * (x,y)eZ, bo cięgi |x} i {y} sę zbieżne odpowied

nio do x £ Zj i yez₂.

w ten sposób dowód twierdzenia 3.2 został zakończony.

W wykładzie 2 stwierdziliśmy, bez dowodu, że przestrzeń Eⁿ jest zupełna. Teraz to udowodnimy. Zauważmy, że z twierdzenia 3,2 wynika, iż zupełność przestrzeni E¹ implikuje zupełność przestrzeni Eⁿ, a zatem wystarczy udowodnić, że E¹ Jest przestrzeni? zupełnę.

Twierdzenie 3.3. (kryterium Cauchy^#ego}, Y/arunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby cięg liczbowy r^,r₂,.,. był zbieżny w sensie metryki przestrzeni E* « E^ jest aby był on w tej przestrzeni fundamentalny.

Dowód. Ponieważ w dowolnej przestrzeni metrycznej każdy cięg zbieżny jest fundamentalny (twierdzenie 2.2), więc udowodnimy tylko warunek wystarczajfcy.

Załóżmy, żs cięg r^.rj*##. Jest fundamentalny, tzn. dla każdego E > O istnieje liczba naturalna n*n(£) taka, że

| ^rk ” ^rl | ^c § ^{dla k >n} Ł l> n

Clęg ^ri^,r2'* * * Jśst więc ograniczony (zobacz ćwiczenie 3.1), a zatem wielkości i_m ■ inf r., s « sup r. aę dla dowolnego m ■ 1,2,...

j > » ³    j > ■

liczbami takimi, że 1,4 1]^#    Odcinki <!,.*,> («»1,2,...)

maję więc tę własność, że każdy z nich Jest zawarty w bezpośrednio poprzedzającym 1 na podstawie zasady Cantora (ćwiczenie 3.1) ich przecięcie Jest nlepuste, tmn. istnieje punkt (liczba) g należęcy do każdego odcinka <i ,* >    (m-i,2,...). Pokażemy, że lim r. » g. Ustalmy

" "    1 —— oc -*