984501240

17

4. WIELOMIANY

Twierdzenie 3.2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y oraz a ^ 0 zachodzą następujące wzory:

(a)    — |x| ^ x ^ |x|

(b)    |rr| ^ a wtedy i tylko wtedy, gdy — a ^ x ^ a

(c)    \x + y\ ^ |*| + \y\

(d)    W - li/l < I* - i/l

(e)    \xy\ = |z| • \y\

Własności (a), (b) oraz (e) wynikają wprost z definicji. Zauważmy, że na mocy własności (a) mamy

— |rr| ^ x ^ |x| oraz — \y\ ^ y ^ \y\-Dodając te nierówności stronami otrzymujemy

-(1*1 + M) < x + y < |a;| + \y\-

Zatem na mocy własności (b) mamy

l*+vl< 14+M-

Dysponując już własnością (c) możemy napisać, że

\x\ = |(x - y) + y\ < \x - y\ + \x\

skąd

1*1 - |y| < l*-s/|-

4. Wielomiany

Omówimy wpierw w skrócie niektóre własności arytmetyczne liczb całkowitych, a więc własności związane z podzielnością. Mówimy, że liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą 6, albo, że liczba b dzieli a (bez reszty), gdy a jest wielokrotnością liczby 6, tzn. gdy istnieje taka liczba całkowita c, że a = bc. Fakt, że b dzieli a zapisujemy symbolicznie w następujący sposób:

b\a.

Z prawa łączności wynika, że jeśli b\a oraz b\c, to także b\a + c. Liczba 1 dzieli każdą liczbę naturalną, a z drugiej strony, jeśli liczba b dzieli a, to nie może być od niej większa. Zatem dla dowolnych dwóch liczb, powiedzmy a oraz b, istnieje największa liczba, która dzieli obydwie. Oznaczamy ją symbolem NWD (a, 6)

i nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Jeśli NWD(a, b) = 1, to mówimy, że a i b są względnie pierwsze. Na przykład liczby 4 i 9 są względnie pierwsze, a liczby 6 i 9 nie są. Tak więc licznik i mianownik w ułamku nieskracalnym są liczbami względnie pierwszymi.

Dla liczb względnie pierwszych zachodzi następujące ważne twierdzenie: