img018

18

Ćwiczenia

18

l.l.

Udowodnić, 20 dla dowolnych liczb rzeczywistych b_1#... spełniono Jest nierówność

^,an^,bl^{1 2 2 2}

i-i

i«i

zwano nierównością Minkowskiego². Oska Jest interpretacja geometryczba tej nierówności w przypadku n«2 i n«3?

1.2.    Pokazsó, Ze zbiór Rⁿ uporządkowanych układów n liczb rzeczywistych (p_1#...,p_n) wraz z funkcją

d_k(p.q) -|E ^(P1 ^{2 q}l⁾²j

jest przestrzenią metryczną Eⁿ.

1.3.    Pokazać, że zbiór wszystkich funkcji ciągłych O <a,b>-²R wraz

z funkcją d (f,g) « nax If(x)-g(x)I Jest przestrzenią metryczną C<..b>.    xc<.,b>

1.4.    Niech 2 oznacza zbiór figur płaskich o skończonym polu. Pole figury ACZ oznaczamy przez fj(A). Przez różnicą symetryczną figur A i 6, którą oznaczamy symbolem A — B, rozumiemy figurą

A - B - (AuB)\ (A H B)

Wykazać, że funkcja

^dN(A,B) . _H(A - B)

Jest w zbiorze 2 odległością (jest to tzw. metryka Nlkodyma² oraz, że funkcja

1

Hermann .‘linków ski (22 VI 1864 - 12 I 1909) - przedstawiciel niemieckiej szkoły matematycznej. V swym niemałym dorobku naukowym wiele prac poświecił on geomotryzscJi teorii liczb, badał toż geometrią ciał wypukłych’ punkty ekstremalne, funkcjonał Minkowskiego), a przy końcu swego krótkiego życie zajął się geosnetryzacją jeszczo Jednej teorii, tym razem fizycznej teorii względności. Czterowymiarowa czasoprzestrzeń występujące w tej teorii nosi nazwę przestrzeni Minkowskieco—Einsteina.

2

Otto Nikodym (13 VIII 1887 - ² V 197³) - matematyk polaki, od 19^7 roku pracujący w Stanach Zjednoczonych. Jeden z szosnestu założycieli Towarzystwa Matematycznego w Krakowie 'posiedzenie inauguracyjne tego Towarzystwa odbyło się 2 IV 1919 roku i tę datę uważa się za dzień utworzenie Polskiego Towarzystwa Matematycznego), zajmował się głównie teorią

3

całki i funkcjami rzeczywistymi, znany jest także ze swych wyników w teorii miary.